Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.
Poslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 08:32
Probni prijemni ispit ETF – 13. jun 2014.
4. zadatak
Zbir rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\frac{2b}{x-a}-\frac{b^2}{(x-a)\sqrt{x^2-2ax+a^2}}=1\enspace(a,b>0)[/inlmath] iznosi:
[inlmath]A)\;4a+4b;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2a+2b-b\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;a+b;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;3a+3b;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;3a+3b-b\sqrt2.[/inlmath]
Uočimo kvadrat binoma pod korenom, te jednačinu svedemo na ekvivalentan oblik:
[dispmath]\frac{2b}{x-a}-\frac{b^2}{(x-a)|x-a|}=1[/dispmath] U slučaju kada je [inlmath]x-a>0[/inlmath], apsolutne vrednosti se oslobađamo kao [inlmath]|x-a|=x-a[/inlmath], nakon čega se nizom transformacija dobija kvadratna jednačina čije je jedno dvostruko rešenje [inlmath]x_{1/2}=a+b[/inlmath], koje zadovoljava polazni uslov za oslobađanje od apsolutne vrednosti.
U slučaju kada je [inlmath]x-a<0[/inlmath], apsolutne vrednosti se oslobađamo kao [inlmath]|x-a|=-(x-a)[/inlmath], nakon čega se nizom transformacija dobija kvadratna jednačina čije je rešenje [inlmath]x_{3/4}=a+b\pm b\sqrt2[/inlmath], pri čemu samo rešenje [inlmath]x_4=a+b-b\sqrt2[/inlmath] zadovoljava polazni uslov za oslobađanje od apsolutne vrednosti.
Konačno rešenje zadatka bi bilo, po meni,
[dispmath]a+b+a+b-b\sqrt2=2a+2b-b\sqrt2[/dispmath] jer ja, bar do sada, nikada nisam na jedno dvostruko rešenje kvadratne jednačine (konkretno mislim na [inlmath]x_{1/2}=a+b[/inlmath]) gledao kao na dva rešenja koja bi (kao što zadatak traži) trebalo uračunati dva puta pri traženju zbira rešenja. Da li grešim, i da li je onda zaista slučaj da se uvek to jedno rešenje gleda kao dva?
4. zadatak
Zbir rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\frac{2b}{x-a}-\frac{b^2}{(x-a)\sqrt{x^2-2ax+a^2}}=1\enspace(a,b>0)[/inlmath] iznosi:
[inlmath]A)\;4a+4b;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2a+2b-b\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;a+b;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;3a+3b;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;3a+3b-b\sqrt2.[/inlmath]
Uočimo kvadrat binoma pod korenom, te jednačinu svedemo na ekvivalentan oblik:
[dispmath]\frac{2b}{x-a}-\frac{b^2}{(x-a)|x-a|}=1[/dispmath] U slučaju kada je [inlmath]x-a>0[/inlmath], apsolutne vrednosti se oslobađamo kao [inlmath]|x-a|=x-a[/inlmath], nakon čega se nizom transformacija dobija kvadratna jednačina čije je jedno dvostruko rešenje [inlmath]x_{1/2}=a+b[/inlmath], koje zadovoljava polazni uslov za oslobađanje od apsolutne vrednosti.
U slučaju kada je [inlmath]x-a<0[/inlmath], apsolutne vrednosti se oslobađamo kao [inlmath]|x-a|=-(x-a)[/inlmath], nakon čega se nizom transformacija dobija kvadratna jednačina čije je rešenje [inlmath]x_{3/4}=a+b\pm b\sqrt2[/inlmath], pri čemu samo rešenje [inlmath]x_4=a+b-b\sqrt2[/inlmath] zadovoljava polazni uslov za oslobađanje od apsolutne vrednosti.
Konačno rešenje zadatka bi bilo, po meni,
[dispmath]a+b+a+b-b\sqrt2=2a+2b-b\sqrt2[/dispmath] jer ja, bar do sada, nikada nisam na jedno dvostruko rešenje kvadratne jednačine (konkretno mislim na [inlmath]x_{1/2}=a+b[/inlmath]) gledao kao na dva rešenja koja bi (kao što zadatak traži) trebalo uračunati dva puta pri traženju zbira rešenja. Da li grešim, i da li je onda zaista slučaj da se uvek to jedno rešenje gleda kao dva?