Stranica 1 od 1

Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.

PostPoslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 08:32
od Jovan111
Probni prijemni ispit ETF – 13. jun 2014.
4. zadatak


Zbir rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\frac{2b}{x-a}-\frac{b^2}{(x-a)\sqrt{x^2-2ax+a^2}}=1\enspace(a,b>0)[/inlmath] iznosi:
[inlmath]A)\;4a+4b;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2a+2b-b\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;a+b;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;3a+3b;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;3a+3b-b\sqrt2.[/inlmath]



Uočimo kvadrat binoma pod korenom, te jednačinu svedemo na ekvivalentan oblik:
[dispmath]\frac{2b}{x-a}-\frac{b^2}{(x-a)|x-a|}=1[/dispmath] U slučaju kada je [inlmath]x-a>0[/inlmath], apsolutne vrednosti se oslobađamo kao [inlmath]|x-a|=x-a[/inlmath], nakon čega se nizom transformacija dobija kvadratna jednačina čije je jedno dvostruko rešenje [inlmath]x_{1/2}=a+b[/inlmath], koje zadovoljava polazni uslov za oslobađanje od apsolutne vrednosti.

U slučaju kada je [inlmath]x-a<0[/inlmath], apsolutne vrednosti se oslobađamo kao [inlmath]|x-a|=-(x-a)[/inlmath], nakon čega se nizom transformacija dobija kvadratna jednačina čije je rešenje [inlmath]x_{3/4}=a+b\pm b\sqrt2[/inlmath], pri čemu samo rešenje [inlmath]x_4=a+b-b\sqrt2[/inlmath] zadovoljava polazni uslov za oslobađanje od apsolutne vrednosti.

Konačno rešenje zadatka bi bilo, po meni,
[dispmath]a+b+a+b-b\sqrt2=2a+2b-b\sqrt2[/dispmath] jer ja, bar do sada, nikada nisam na jedno dvostruko rešenje kvadratne jednačine (konkretno mislim na [inlmath]x_{1/2}=a+b[/inlmath]) gledao kao na dva rešenja koja bi (kao što zadatak traži) trebalo uračunati dva puta pri traženju zbira rešenja. Da li grešim, i da li je onda zaista slučaj da se uvek to jedno rešenje gleda kao dva?

Re: Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.

PostPoslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 13:12
od Daniel
Hm, vrlo zanimljivo pitanje, nisam dosad razmišljao o tome. :think1: Po nekoj mojoj logici, kaže se da kvadratna jednačina može imati ili dva realna i različita rešenja, ili jedno dvostruko realno rešenje, ili dva konjugovano-kompleksna rešenja. Dakle, čim se za to rešenje kaže da je jedno dvostruko realno rešenje, logično bi bilo da se ne sabira sa samim sobom, nego u zbiru rešenja učestvuje samo jednom. Konkretno, u ovom zadatku, ja bih za zbir zaokružio [inlmath]2a+2b-b\sqrt{2}[/inlmath].

Lično ne očekujem da će se tako nešto pojaviti na prijemnom, budući da sastavljači zadataka za prijemni izbegavaju bilo kakvu moguću dvosmislenost, ali svakako bi valjalo otkloniti ovu nedoumicu. Voleo bih da čujemo i mišljenja drugih.

Re: Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.

PostPoslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 18:53
od miletrans
Ovde mogu samo da se složim sa obojicom. Ne vidim zašto bi se dvostruko rešenje sabiralo dva puta ako se traži zbir svih rešenja. Postupak koji je napisao Jovan111 je onako kako bih ga ja radio i zaokružio bih isto rešenje kao Daniel. Opet kažem ovo, je moje mišljenje i tumačenje.

Re: Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.

PostPoslato: Sreda, 26. Jun 2019, 16:51
od Jovan111
Samo da obavestim one kojima je ovo pitanje bilo interesantno (ili je stvorilo i najmanju nedoumicu) da sam dobio pouzdanu informaciju da je te godine bilo tačno rešenje [inlmath]2a+2b-b\sqrt2[/inlmath], a da je odgovor pod [inlmath]E[/inlmath] pogrešno zaokružen :)