Stranica 1 od 2

Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2019, 20:32
od Nevena12
Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
10. zadatak


Zbir svih realnih rešenja jednačine [inlmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}[/inlmath] jeste:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;4;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;6;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{26}{7};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{44}{7};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{-16}{7}.[/inlmath]



Počela sam tako što sam postavila uslove da ono ispod korena bude [inlmath]\ge0[/inlmath]. Prebacila sam drugi koren na desnu stranu i kvadrirala. Ali ne znam kako dalje da sredim jednačinu.

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2019, 20:52
od Jovan111
Pozdrav! Da, juče sam ga i ja radio, i mogu reći da je drugačiji nego što se inače viđaju. Ipak, shvatio sam da kada svaku od potkorenih veličina transformišeš u proizvod zagrada, i to tako da bude:
[dispmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}\iff\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/dispmath] imaćeš dve mogućnosti:

  • da je [inlmath]\sqrt{x+1}=0[/inlmath], to jest da je [inlmath]x_1=-1[/inlmath], što ako proveriš (zameni [inlmath]x=-1[/inlmath] u jednačinu) jeste rešenje;
  • da je [inlmath]\sqrt{x+1}\ne0[/inlmath], te treba da podeliš jednačinu sa [inlmath]\sqrt{x+1}[/inlmath], te dobijaš jednačinu [inlmath]\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-1}[/inlmath] u kojoj treba da odrediš domen i da je rešiš na standardni način - dobićeš dva rešenja, ali će samo [inlmath]x_2=5[/inlmath] biti unutar definicionog područja.
Konačno je i traženi zbir rešenja time [inlmath]x_1+x_2=-1+5=4[/inlmath].

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2019, 21:03
od Nevena12
Ne bih se toga uopšte setila, hvala puno! :D

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2019, 21:22
od Daniel
Samo bih dopunio da je slučaj [inlmath]\sqrt{x+1}\ne0[/inlmath] potrebno podeliti na dva podslučaja (pošto [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b[/inlmath] ne važi ako su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] negativni):
  • [inlmath]x+1>0[/inlmath] tada se jednačina svodi na [inlmath]\cancel{\sqrt{x+1}}\sqrt{4x+5}-\cancel{\sqrt{x+1}}\sqrt{2x-1}=\cancel{\sqrt{x+1}}\sqrt{x-1}[/inlmath]
  • [inlmath]x+1<0[/inlmath] tada se jednačina svodi na [inlmath]\cancel{\sqrt{-x-1}}\sqrt{-4x-5}-\cancel{\sqrt{-x-1}}\sqrt{1-2x}=\cancel{\sqrt{-x-1}}\sqrt{1-x}[/inlmath]
Za drugi podslučaj se dobije rešenje [inlmath]x=-\frac{9}{7}[/inlmath], ali to rešenje ne ispunjava uslov tog drugog podslučaja, tako da to rešenje odbacujemo.

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 17. Decembar 2019, 17:29
od StefanJevtic63
[dispmath]\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/dispmath] Nije mi jasno kako ovde imamo dve mogućnosti:
[dispmath]x+1>0[/dispmath][dispmath]x+1<0[/dispmath]

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Sreda, 18. Decembar 2019, 07:16
od Daniel
Imamo i treću, [inlmath]x+1=0[/inlmath]. Pročitaj temu od početka, sve je objašnjeno.

Ili malo preciznije formuliši svoje pitanje, kako bismo znali šta treba da objasnimo.

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Četvrtak, 19. Decembar 2019, 12:02
od StefanJevtic63
Uradio sam zadatak ponovo i dobio tačno rešenje.
U početku mi nije bilo jasno zašto smo postavili uslove, odnosno odredili da mogu biti dva scenarija (za [inlmath]\sqrt{x+1}=0[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{x+1}\ne0[/inlmath]), ali kasnije sam ukapirao zašto je to tako.
Hvala na odgovoru.

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Avgust 2020, 23:34
od Frank
Pozdrav! Zadatak sa početka teme sam pokušao da uradim na malo drugačiji način (meni logičniji), ali nisam uspeo jer nailazim na izvesne poteškoće. Princip po kojem sam radio zadatak je identičan principu prikazanom u prethodnim postovima (ove teme), samo je "formulacija" malo drugačija.
Jednačina [inlmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}[/inlmath] je ekvivalentna jednačini [inlmath]\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/inlmath] (kao što je već napisano).
Služeći se implikacijom [inlmath]a\cdot b\ge0\hspace{4mm}\Longrightarrow\hspace{4mm}a\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}b\ge0\hspace{4mm}\lor\hspace{4mm}a\le 0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}b\le0[/inlmath] zadatak sam podelio na dva slučaja:
Prvi slučaj: svi činioci ispod korenova su nenegativni, tj.
[dispmath]x+1\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}4x+5\ge0\hspace2mm\land\hspace{2mm}x-1\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}2x-1\ge0[/dispmath] Presek ovih uslova daje [inlmath]x\ge1[/inlmath]. Pod ovim uslovom početna jednačina se može napisati u obliku
[dispmath]\sqrt{x+1}\sqrt{4x+5}-\sqrt{x+1}\sqrt{2x-1}=\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}[/dispmath] (sređivanje jednačine mi ne predstavlja problem, tako da taj deo neću pisati).
Drugi slučaj: svi činioci ispod korenova su nepozitivni, tj.
[dispmath]x+1\le0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}4x+5\le0\hspace2mm\land\hspace{2mm}x-1\le0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}2x-1\le0[/dispmath] Presek ovih uslova daje [inlmath]x\le-\frac{5}{4}[/inlmath]. Pod ovim uslovom početna jednačina se može napisati u obliku
[dispmath]\sqrt{-x-1}\sqrt{-4x-5}-\sqrt{-x-1}\sqrt{-2x+1}=\sqrt{-x-1}\sqrt{-x+1}[/dispmath] Po mom, definiciono područje početne jednačine je [inlmath]\left(-\infty,-\frac{5}{4}\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/inlmath]. Očigledno sam negde izgubio [inlmath]-1[/inlmath] kao jednu od vrednosti za koju je početna jednačina definisana. (kada potkorene veličine posmatram kao kvadratne nejednačine onda mi oblast definisanosti ispadne kako treba, tj. ne gubi se [inlmath]-1[/inlmath]) Gde se potkrala greška i da li je moj postupak uopšte ispravan? Hvala! :)

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 18. Avgust 2020, 16:18
od Daniel
Da li važi implikacija
[dispmath]ab\ge0\;\land\;ac\ge0\;\Longrightarrow\;(a\ge0\;\land\;b\ge0\;\land\;c\ge0)\;\lor\;(a\le0\;\land\;b\le0\;\land\;c\le0)[/dispmath] i zbog čega ne? :)

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 18. Avgust 2020, 17:33
od Frank
Zaista ne uspevam da skužim zbog čega pomenuta implikacija ne važi. Pokušao sam da uvrštavanjem konkretnih brojnih vrednosti dođem do odgovora, ali, ćorak... :think1: :)