Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod Nevena12 » Utorak, 25. Jun 2019, 20:32

Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
10. zadatak


Zbir svih realnih rešenja jednačine [inlmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}[/inlmath] jeste:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;4;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;6;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{26}{7};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{44}{7};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{-16}{7}.[/inlmath]



Počela sam tako što sam postavila uslove da ono ispod korena bude [inlmath]\ge0[/inlmath]. Prebacila sam drugi koren na desnu stranu i kvadrirala. Ali ne znam kako dalje da sredim jednačinu.
Poslednji put menjao Jovan111 dana Utorak, 25. Jun 2019, 21:03, izmenjena 2 puta
Razlog: Korekcija teksta zadatka i naziva teme, dodavanje linka ka zadatku
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod Jovan111 » Utorak, 25. Jun 2019, 20:52

Pozdrav! Da, juče sam ga i ja radio, i mogu reći da je drugačiji nego što se inače viđaju. Ipak, shvatio sam da kada svaku od potkorenih veličina transformišeš u proizvod zagrada, i to tako da bude:
[dispmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}\iff\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/dispmath] imaćeš dve mogućnosti:

  • da je [inlmath]\sqrt{x+1}=0[/inlmath], to jest da je [inlmath]x_1=-1[/inlmath], što ako proveriš (zameni [inlmath]x=-1[/inlmath] u jednačinu) jeste rešenje;
  • da je [inlmath]\sqrt{x+1}\ne0[/inlmath], te treba da podeliš jednačinu sa [inlmath]\sqrt{x+1}[/inlmath], te dobijaš jednačinu [inlmath]\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-1}[/inlmath] u kojoj treba da odrediš domen i da je rešiš na standardni način - dobićeš dva rešenja, ali će samo [inlmath]x_2=5[/inlmath] biti unutar definicionog područja.
Konačno je i traženi zbir rešenja time [inlmath]x_1+x_2=-1+5=4[/inlmath].
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 161 puta

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod Nevena12 » Utorak, 25. Jun 2019, 21:03

Ne bih se toga uopšte setila, hvala puno! :D
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod Daniel » Utorak, 25. Jun 2019, 21:22

Samo bih dopunio da je slučaj [inlmath]\sqrt{x+1}\ne0[/inlmath] potrebno podeliti na dva podslučaja (pošto [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b[/inlmath] ne važi ako su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] negativni):
  • [inlmath]x+1>0[/inlmath] tada se jednačina svodi na [inlmath]\cancel{\sqrt{x+1}}\sqrt{4x+5}-\cancel{\sqrt{x+1}}\sqrt{2x-1}=\cancel{\sqrt{x+1}}\sqrt{x-1}[/inlmath]
  • [inlmath]x+1<0[/inlmath] tada se jednačina svodi na [inlmath]\cancel{\sqrt{-x-1}}\sqrt{-4x-5}-\cancel{\sqrt{-x-1}}\sqrt{1-2x}=\cancel{\sqrt{-x-1}}\sqrt{1-x}[/inlmath]
Za drugi podslučaj se dobije rešenje [inlmath]x=-\frac{9}{7}[/inlmath], ali to rešenje ne ispunjava uslov tog drugog podslučaja, tako da to rešenje odbacujemo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod StefanJevtic63 » Utorak, 17. Decembar 2019, 17:29

[dispmath]\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/dispmath] Nije mi jasno kako ovde imamo dve mogućnosti:
[dispmath]x+1>0[/dispmath][dispmath]x+1<0[/dispmath]
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod Daniel » Sreda, 18. Decembar 2019, 07:16

Imamo i treću, [inlmath]x+1=0[/inlmath]. Pročitaj temu od početka, sve je objašnjeno.

Ili malo preciznije formuliši svoje pitanje, kako bismo znali šta treba da objasnimo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod StefanJevtic63 » Četvrtak, 19. Decembar 2019, 12:02

Uradio sam zadatak ponovo i dobio tačno rešenje.
U početku mi nije bilo jasno zašto smo postavili uslove, odnosno odredili da mogu biti dva scenarija (za [inlmath]\sqrt{x+1}=0[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{x+1}\ne0[/inlmath]), ali kasnije sam ukapirao zašto je to tako.
Hvala na odgovoru.
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod Frank » Ponedeljak, 17. Avgust 2020, 23:34

Pozdrav! Zadatak sa početka teme sam pokušao da uradim na malo drugačiji način (meni logičniji), ali nisam uspeo jer nailazim na izvesne poteškoće. Princip po kojem sam radio zadatak je identičan principu prikazanom u prethodnim postovima (ove teme), samo je "formulacija" malo drugačija.
Jednačina [inlmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}[/inlmath] je ekvivalentna jednačini [inlmath]\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/inlmath] (kao što je već napisano).
Služeći se implikacijom [inlmath]a\cdot b\ge0\hspace{4mm}\Longrightarrow\hspace{4mm}a\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}b\ge0\hspace{4mm}\lor\hspace{4mm}a\le 0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}b\le0[/inlmath] zadatak sam podelio na dva slučaja:
Prvi slučaj: svi činioci ispod korenova su nenegativni, tj.
[dispmath]x+1\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}4x+5\ge0\hspace2mm\land\hspace{2mm}x-1\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}2x-1\ge0[/dispmath] Presek ovih uslova daje [inlmath]x\ge1[/inlmath]. Pod ovim uslovom početna jednačina se može napisati u obliku
[dispmath]\sqrt{x+1}\sqrt{4x+5}-\sqrt{x+1}\sqrt{2x-1}=\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}[/dispmath] (sređivanje jednačine mi ne predstavlja problem, tako da taj deo neću pisati).
Drugi slučaj: svi činioci ispod korenova su nepozitivni, tj.
[dispmath]x+1\le0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}4x+5\le0\hspace2mm\land\hspace{2mm}x-1\le0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}2x-1\le0[/dispmath] Presek ovih uslova daje [inlmath]x\le-\frac{5}{4}[/inlmath]. Pod ovim uslovom početna jednačina se može napisati u obliku
[dispmath]\sqrt{-x-1}\sqrt{-4x-5}-\sqrt{-x-1}\sqrt{-2x+1}=\sqrt{-x-1}\sqrt{-x+1}[/dispmath] Po mom, definiciono područje početne jednačine je [inlmath]\left(-\infty,-\frac{5}{4}\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/inlmath]. Očigledno sam negde izgubio [inlmath]-1[/inlmath] kao jednu od vrednosti za koju je početna jednačina definisana. (kada potkorene veličine posmatram kao kvadratne nejednačine onda mi oblast definisanosti ispadne kako treba, tj. ne gubi se [inlmath]-1[/inlmath]) Gde se potkrala greška i da li je moj postupak uopšte ispravan? Hvala! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod Daniel » Utorak, 18. Avgust 2020, 16:18

Da li važi implikacija
[dispmath]ab\ge0\;\land\;ac\ge0\;\Longrightarrow\;(a\ge0\;\land\;b\ge0\;\land\;c\ge0)\;\lor\;(a\le0\;\land\;b\le0\;\land\;c\le0)[/dispmath] i zbog čega ne? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni ETF 2019.

Postod Frank » Utorak, 18. Avgust 2020, 17:33

Zaista ne uspevam da skužim zbog čega pomenuta implikacija ne važi. Pokušao sam da uvrštavanjem konkretnih brojnih vrednosti dođem do odgovora, ali, ćorak... :think1: :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sledeća

Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 43 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs