Evo da dodam malo opštije rešenje.
Polaznu jednakost možemo transformisati na sledeći način (podelimo sa [inlmath]x[/inlmath]):
[dispmath]x^2+x+1=0\quad/:x[/dispmath][dispmath]x+\frac{1}{x}=-1[/dispmath] Sada, kako redom budemo množili uočićemo pravilnost:
[dispmath]\underbrace{\left(x+\frac{1}{x}\right)}_{-1}\underbrace{\left(x+\frac{1}{x}\right)}_{-1}=1=x^2+\frac{1}{x^2}+2[/dispmath] Pa je:
[dispmath]x^2+\frac{1}{x^2}=-1[/dispmath] Opet ponovimo slično:
[dispmath]\underbrace{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}_{-1}\underbrace{\left(x+\frac{1}{x}\right)}_{-1}=1=x^3+\frac{1}{x^3}+\underbrace{x+\frac{1}{x}}_{-1}[/dispmath] Pa je:
[dispmath]x^3+\frac{1}{x^3}=2[/dispmath] Opet pomnožimo:
[dispmath]\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=-2=x^4+\frac{1}{x^4}+x^2+\frac{1}{x^2}\;\Longrightarrow\;x^4+\frac{1}{x^4}=-1[/dispmath][dispmath]\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=1=x^5+\frac{1}{x^5}+x^3+\frac{1}{x^3}\;\Longrightarrow\;x^5+\frac{1}{x^5}=-1[/dispmath][dispmath]\left(x^5+\frac{1}{x^5}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=1=x^6+\frac{1}{x^6}+x^4+\frac{1}{x^4}\;\Longrightarrow\;x^6+\frac{1}{x^6}=2[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath] Možemo uočiti pravilnost:
Ako važi [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath] onda je [inlmath]f(x)=x^n+x^{-n}[/inlmath] jednaka:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
-1, & 3\!{\not|}\,n\\
2, & 3\vert n
\end{cases}[/dispmath] Dakle, ako je stepen (u ovom slučaju, [inlmath]2009[/inlmath]) deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] onda je [inlmath]f(x)=2[/inlmath], a ako nije onda je [inlmath]f(x)=-1[/inlmath]. Kako [inlmath]2009[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] znači da je:
[dispmath]x^{2009}+x^{-2009}=-1[/dispmath]
Možda nekome pomogne.