Logaritamski izraz – prijemni FON 2019.

PostPoslato: Petak, 05. Jul 2019, 19:10
od Stefan Boricic
Prijemni ispit FON – 25. jun 2019.
6. zadatak


Ako je [inlmath]a=\log_34\cdot\log_45\cdot\log_56[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle b=\frac{\log_281}{1+\log_23}[/inlmath], onda vrednost izraza [inlmath]\log_2ab[/inlmath] iznosi:
[inlmath]A)\;\log_26;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;4;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\log_29;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{\text{E)}}\;2.[/inlmath]



Prvo ćemo izračunati vrednost izraza [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]a=\log_34\cdot\log_45\cdot\log_56\\
a=\frac{\ln4}{\ln3}\cdot\frac{\ln5}{\ln4}\cdot\frac{\ln6}{\ln5}\\
a=\frac{\cancel{\ln4}}{\ln3}\cdot\frac{\cancel{\ln5}}{\cancel{\ln4}}\cdot\frac{\ln6}{\cancel{\ln5}}\\
\enclose{box}{a=\frac{\ln6}{\ln3}}[/dispmath] Sada rešavamo vrednost izraza [inlmath]b[/inlmath]:
[dispmath]b=\frac{\log_281}{1+\log_23}\\
b=\frac{\frac{\ln81}{\ln2}}{1+\frac{\ln3}{\ln2}}\\
b=\frac{\ln81}{\ln2\left(1+\frac{\ln3}{\ln2}\right)}\\
b=\frac{\ln81}{\cancel{\ln2}\cdot\frac{\ln6}{\cancel{\ln2}}}\\
\enclose{box}{b=\frac{\ln81}{\ln6}}[/dispmath] Sada ćemo izračunati vrednost izraza [inlmath]\log_2ab[/inlmath]:
[dispmath]\log_2\left(\frac{\ln6}{\ln5}\cdot\frac{\ln81}{\ln6}\right)=\log_2\left(\frac{\cancel{\ln6}}{\ln3}\cdot\frac{\ln81}{\cancel{\ln6}}\right)\\
\Longrightarrow\quad\log_2ab=\log_2\left(\frac{\ln81}{\ln3}\right)[/dispmath] Zapisaćemo [inlmath]\ln81[/inlmath] kao [inlmath]4\cdot\ln3[/inlmath]. Sada imamo:
[dispmath]\log_2\left(\frac{4\cdot\ln3}{\ln3}\right)=\log_2\left(\frac{4\cdot\cancel{\ln3}}{\cancel{\ln3}}\right)[/dispmath] Ostalo nam je [inlmath]\log_24[/inlmath]. Zapisaćemo ovo kao [inlmath]\log_2\left(2^2\right)[/inlmath]. To je onda:
[dispmath]2\log_22[/dispmath] Pošto je [inlmath]\log_22=1[/inlmath], vrednost izraza je:
[dispmath]\enclose{box}{2\cdot1=2}[/dispmath]

Re: Logaritamski izraz – prijemni FON 2019.

PostPoslato: Subota, 06. Jul 2019, 19:18
od Daniel
Može i bez [inlmath]\ln[/inlmath]-ova:
[dispmath]a=\log_36=\log_3(3\cdot2)=1+\log_32\\
b=\frac{4\log_23}{1+\log_23}\cdot\frac{\log_32}{\log_32}=\frac{4}{1+\log_32}\\
\Longrightarrow\quad ab=\cancel{(1+\log_32)}\cdot\frac{4}{\cancel{1+\log_32}}=4\\
\vdots[/dispmath]