Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Proizvod svih realnih rešenja jednačine – prijemni FON 2019.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Proizvod svih realnih rešenja jednačine – prijemni FON 2019.

Postod Stefan Boricic » Subota, 06. Jul 2019, 08:34

Prijemni ispit FON – 25. jun 2019.
10. zadatak


Proizvod svih realnih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle x^2+x+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}=2[/inlmath] je:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;8;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;6;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;4;\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Prvo ćemo prebaciti [inlmath]2[/inlmath] na levu stranu jednačine:
[dispmath]x^2+x+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}-2=0[/dispmath] Pomnožićemo celu jednačinu sa [inlmath]x^2[/inlmath]:
[dispmath]\left.x^2+x+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}-2=0\quad\right/\cdot x^2[/dispmath] Sada dobijamo:
[dispmath]x^4+x^3-2x^2+2x+4=0[/dispmath] Ovde smo pomnožilli jednačinu i zapisali je po opadajućim eksponentima.

Možemo iskoristiti Bezuov stav kako bismo rastavili ovaj polinom na činioce i tako rešili jednačinu.
Uzećemo jedini slobodan član u polinomu, a to je [inlmath]4[/inlmath], zapisati njegove pozitivne i negativne eksponente, njih menjati umesto [inlmath]x[/inlmath] i na kraju ćemo ceo polinom podeliti brojem [inlmath]x-n[/inlmath] gde je [inlmath]n[/inlmath] broj čijom smo zamenom dobili nulu polinoma.

[dispmath]4=-1,1,2,-2,4,-4[/dispmath] Zamenjivanjem svakog od ovih brojeva, polinom ima nulu kad je [inlmath]x=-1[/inlmath], pa je ceo polinom deljiv sa [inlmath]x+1[/inlmath].
Sada delimo:
[dispmath]\left(x^4+x^3-2x^2+2x+4\right):(x+1)=x^3-2x+4[/dispmath] Sada početni polinom izgleda ovako:
[dispmath](x+1)\left(x^3-2x+4\right)[/dispmath] Možemo i [inlmath]x^3-2x+4[/inlmath] rastaviti na činioce na isti način koristeći Bezuov stav.
Kada ga rastavimo, on izgleda ovako:
[dispmath]\left(x^2-2x+2\right)(x+2)[/dispmath] Polinom [inlmath]x^2-2x+2[/inlmath] ne možemo rastaviti, pa jednačina ima krajnji izgled:
[dispmath](x+2)(x+1)\left(x^2-2x+2\right)=0[/dispmath]
Sada rešavamo svaku jednačinu posebno:
[dispmath]x+2=0\\
\enclose{box}{x=-2}[/dispmath][dispmath]x+1=0\\
\enclose{box}{x=-1}[/dispmath] Jednačinu [inlmath]x^2-2x+4[/inlmath] rešićemo pomoću formule za rešenja kvadratne jednačine:
[dispmath]^{x_1}/_{x_2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
^{x_1}/_{x_2}=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}\\
^{x_1}/_{x_2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}\\
^{x_1}/_{x_2}=\frac{2\pm\sqrt{4\cdot(-1)}}{2}\\
^{x_1}/_{x_2}=\frac{2\pm2i}{2}\\
x_1=\frac{2+2i}{2}\\
x_1=\frac{2}{2}+\frac{2i}{2}\\
\enclose{box}{x_1={1+i}}[/dispmath]
[dispmath]x_2=\frac{2-2i}{2}\\
x_2=\frac{2}{2}-\frac{2i}{2}\\
\enclose{box}{x_2={1-i}}[/dispmath] Kako nam se traži proizvod realnih rešenja jednačine, a realna rešenja su [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath], to je proizvod:
[dispmath]\enclose{box}{-2\cdot(-1)=2}[/dispmath]
Mathematics is the language with which God wrote the universe. — Galileo
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 9 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Proizvod svih realnih rešenja jednačine – prijemni FON 2019.

Postod Daniel » Nedelja, 07. Jul 2019, 05:21

Predložio bih drugi način, kojim bi se moglo doći do rešenja i da nule nisu bile celobrojne (tada uvrštavanjem celobrojnih činilaca slobodnog člana ne bismo mogli doći do rezultata).

Zapišimo [inlmath]\displaystyle x^2+\frac{4}{x^2}[/inlmath] kao [inlmath]\displaystyle\left(x+\frac{2}{x}\right)^2-4[/inlmath] i uvedimo smenu [inlmath]\displaystyle\left(x+\frac{2}{x}\right)=t[/inlmath]. Jednačina sada postaje [inlmath]t^2+t-6=0[/inlmath]...



Što se tiče tvog postupka, par primedbi:

Stefan Boricic je napisao:[dispmath]4=-1,1,2,-2,4,-4[/dispmath]

Ovakav zapis je „no-no“. :nene: Ovo s desne strane znaka jednakosti jesu celobrojni činioci broja [inlmath]4[/inlmath], ali ovakav zapis sa znakom jednakosti značio bi da je četvorka jednaka svojim celobrojnim činiocima.

Stefan Boricic je napisao:Jednačinu [inlmath]x^2-2x+4[/inlmath] rešićemo pomoću formule za rešenja kvadratne jednačine:
[dispmath]^{x_1}/_{x_2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
^{x_1}/_{x_2}=\frac{2\pm\sqrt{4-{\color{red}8}}}{2}\\
\vdots[/dispmath]

Ovo crveno je greška, treba [inlmath]16[/inlmath], ali je i inače ovaj deo postupka skroz nepotreban jer taj trinom, kako si i primetio, nema realne nule, tako da nam nije od interesa u ovom zadatku budući da se traži proizvod samo realnih rešenja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7778
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Proizvod svih realnih rešenja jednačine – prijemni FON 2019.

Postod Stefan Boricic » Nedelja, 07. Jul 2019, 09:35

Ah, I meni se ponekad desi neki lapsus. Hvala na ispravljanju!
Mathematics is the language with which God wrote the universe. — Galileo
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 9 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 13. Decembar 2019, 04:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs