Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Logaritamska jednačina – tri rešenja

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Logaritamska jednačina – tri rešenja

Postod Pera » Četvrtak, 25. Jul 2019, 16:47

Zdravo forumaši!

Zamolio bih vas za odgovor u vezi logaritamske jednačine.

Zadatak glasi: Rešiti jednačinu:
[dispmath]\log_{3x}\left(\frac{3}{x}\right)+\log^2_3x=1[/dispmath] A rešenja su:
[dispmath]x_1=1;\quad x_2=3;\quad x_3=\frac{1}{9}[/dispmath]
Rešavao sam ovako:

Prvo oblast definisanosti: [inlmath]x>0;[/inlmath] [inlmath]x\ne\frac{1}{3}[/inlmath].
[dispmath]\log_{3x}\left(\frac{3}{x}\right)+\log^2_3x=\log_{3x}3x\\
\log_{3x}\left(\frac{1}{x^2}\right)+\log^2_3x=0\\
\log_{3x}1-\log_{3x}x^2+\log^2_3x=0\\
\log^2_3x=\log_{3x}x^2\\
\log^2_3x=2\log_{3x}|x|\\
\log^2_x3=\frac{1}{2}\log_{|x|}3x[/dispmath] E, sada [inlmath]|x|=x[/inlmath], kada je [inlmath]x\ge0[/inlmath] (mada bi ovo trebalo da bude uvek, zbog oblasti definisanosti), odnosno [inlmath]|x|=-x[/inlmath], kada je [inlmath]x<0[/inlmath] (To ne razumem s obzirom na to da je jednačina definisana samo za [inlmath]x>0[/inlmath]).

Ali, za prvi slučaj ([inlmath]|x|=x[/inlmath]) imamo:
[dispmath]\log^2_x3=\frac{1}{2}\log_x3x[/dispmath] Delimo i levu i desnu stranu sa [inlmath]\log_x3x[/inlmath]:
[dispmath]\log_{3x}3\cdot\log_x3=\frac{1}{2}\\
\log_33x\cdot\log_3x=2\\
(1+\log_3x)\cdot\log_3x=2[/dispmath] Smena [inlmath]\log_3x=t[/inlmath] daje: [inlmath]t^2+t-2=0[/inlmath]
Rešenja prethodne kvadratne jednačine su: [inlmath]t_1=-2[/inlmath] i [inlmath]t_2=1[/inlmath], odnosno dobijam dva rešenja: [inlmath]x_1=\frac{1}{9}[/inlmath] i [inlmath]x_2=3[/inlmath].

Sada bi trebalo drugi slučaj ([inlmath]|x|=-x[/inlmath]):
[dispmath]\log^2_x3=\frac{1}{2}\log_{-x}3x[/dispmath] Kako je ovo uopšte moguće ako je [inlmath]x[/inlmath] uvek pozitivno? Gde grešim, odnosno kako da dodjem do trećeg rešenja?
Pera  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Logaritamska jednačina – tri rešenja

Postod Daniel » Četvrtak, 25. Jul 2019, 17:36

Pera je napisao:[dispmath]\log^2_3x=2\log_{3x}|x|\\
\log^2_x3=\frac{1}{2}\log_{|x|}3x[/dispmath]

Između ova dva koraka izjednačio si recipročne vrednosti, međutim, to ne smeš raditi ukoliko su leva i desna strana jednake nuli. Znači, treba prvo proveriti da li leva i desna strana mogu biti jednake nuli, i dobija se da to jeste slučaj za [inlmath]x=1[/inlmath] – što je, gle čuda, upravo ono rešenje koje ti nedostaje.
Zatim se, za slučaj [inlmath]x\ne1[/inlmath], izjednačavaju recipročne vrednosti.

Hint za buduće otkrivanje ovakvih grešaka: Kad god znaš da ti neko rešenje nedostaje, uvek možeš otkriti pogrešan korak tako što ćeš u pojedine korake postupka uvrštavati to rešenje (u ovom slučaju [inlmath]x=1[/inlmath]). Kada, pri tom uvrštavanju, nađeš poslednji korak za koji je jednačina zadovoljena, i prvi korak za koji jednačina nije zadovoljena, to znači da ti je greška između ta dva koraka.

Pera je napisao:E, sada [inlmath]|x|=x[/inlmath], kada je [inlmath]x\ge0[/inlmath] (mada bi ovo trebalo da bude uvek, zbog oblasti definisanosti),

Upravo tako, zbog oblasti definisanosti ne moramo apsolutnu razdvajati na dva slučaja, već se odmah možemo osloboditi apsolutnih zagrada, tj. [inlmath]|x|[/inlmath] pisati kao [inlmath]x[/inlmath].

Pera je napisao:[dispmath]\log^2_x3=\frac{1}{2}\log_x3x[/dispmath] Delimo i levu i desnu stranu sa [inlmath]\log_x3x[/inlmath]:

I pri tome nije zgoreg naglasiti da deljenje smemo izvesti jer je [inlmath]\log_x3x[/inlmath] različit od nule (jer [inlmath]x[/inlmath] ne može biti jednako [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath] zbog uslova definisanosti).

Pera je napisao:[dispmath]\log_{3x}3\cdot\log_x3=\frac{1}{2}\\
\log_33x\cdot\log_3x=2[/dispmath]

Isto tako, i ovde naglasiti da se recipročne vrednosti smeju izjednačiti jer su obe strane različite od nule.

Pera je napisao:Sada bi trebalo drugi slučaj ([inlmath]|x|=-x[/inlmath]):
[dispmath]\log^2_x3=\frac{1}{2}\log_{-x}3x[/dispmath] Kako je ovo uopšte moguće ako je [inlmath]x[/inlmath] uvek pozitivno?

Nije moguće, jer, kao što rekoh, ne razmatra se slučaj [inlmath]x\le0[/inlmath], budući da je postavljen uslov definisanosti [inlmath]x>0[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7778
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 13. Decembar 2019, 03:29 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs