Zdravo forumaši!
Zamolio bih vas za odgovor u vezi logaritamske jednačine.
Zadatak glasi: Rešiti jednačinu:
[dispmath]\log_{3x}\left(\frac{3}{x}\right)+\log^2_3x=1[/dispmath] A rešenja su:
[dispmath]x_1=1;\quad x_2=3;\quad x_3=\frac{1}{9}[/dispmath]
Rešavao sam ovako:
Prvo oblast definisanosti: [inlmath]x>0;[/inlmath] [inlmath]x\ne\frac{1}{3}[/inlmath].
[dispmath]\log_{3x}\left(\frac{3}{x}\right)+\log^2_3x=\log_{3x}3x\\
\log_{3x}\left(\frac{1}{x^2}\right)+\log^2_3x=0\\
\log_{3x}1-\log_{3x}x^2+\log^2_3x=0\\
\log^2_3x=\log_{3x}x^2\\
\log^2_3x=2\log_{3x}|x|\\
\log^2_x3=\frac{1}{2}\log_{|x|}3x[/dispmath] E, sada [inlmath]|x|=x[/inlmath], kada je [inlmath]x\ge0[/inlmath] (mada bi ovo trebalo da bude uvek, zbog oblasti definisanosti), odnosno [inlmath]|x|=-x[/inlmath], kada je [inlmath]x<0[/inlmath] (To ne razumem s obzirom na to da je jednačina definisana samo za [inlmath]x>0[/inlmath]).
Ali, za prvi slučaj ([inlmath]|x|=x[/inlmath]) imamo:
[dispmath]\log^2_x3=\frac{1}{2}\log_x3x[/dispmath] Delimo i levu i desnu stranu sa [inlmath]\log_x3x[/inlmath]:
[dispmath]\log_{3x}3\cdot\log_x3=\frac{1}{2}\\
\log_33x\cdot\log_3x=2\\
(1+\log_3x)\cdot\log_3x=2[/dispmath] Smena [inlmath]\log_3x=t[/inlmath] daje: [inlmath]t^2+t-2=0[/inlmath]
Rešenja prethodne kvadratne jednačine su: [inlmath]t_1=-2[/inlmath] i [inlmath]t_2=1[/inlmath], odnosno dobijam dva rešenja: [inlmath]x_1=\frac{1}{9}[/inlmath] i [inlmath]x_2=3[/inlmath].
Sada bi trebalo drugi slučaj ([inlmath]|x|=-x[/inlmath]):
[dispmath]\log^2_x3=\frac{1}{2}\log_{-x}3x[/dispmath] Kako je ovo uopšte moguće ako je [inlmath]x[/inlmath] uvek pozitivno? Gde grešim, odnosno kako da dodjem do trećeg rešenja?