Stranica 1 od 1

Logaritamska jednacina

PostPoslato: Petak, 17. Januar 2020, 22:06
od Frank
Zadatak glasi:
Resiti jednacinu:
[dispmath]3^{\log^2_3x}+x^{\log_3x}=162[/dispmath] Zadatak sam radio na sledeci nacin:
[dispmath]3^{\log^2_3x}+x^{\log_3x}=162\hspace{5mm}/\log_3[/dispmath][dispmath]\log_33^{\log^2_3x}+\log_3x^{\log_3x}=\log_3162[/dispmath][dispmath]\log^2_3x+\log_3x=\log_3162[/dispmath][dispmath]\log_3x=t[/dispmath][dispmath]t^2+t=4+\log_32[/dispmath] Sada ne znam kako bih ovo sredio.
Postupak u zbirci je zaista elegantan:
[dispmath]3^{\log^2_3x}=\big(3^{\log_3x}\big)^{\log_3x}=x^{\log_3x}[/dispmath][dispmath]\Large\Longrightarrow[/dispmath][dispmath]2x^{\log_3x}=162[/dispmath][dispmath]\hspace{2mm}.\hspace{2mm}.\hspace{2mm}.\hspace{2mm}.\hspace{2mm}.\hspace{2mm}.\hspace{2mm}.[/dispmath] Resenja jednacine su [inlmath]\frac{1}{9}[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath].
Ni sam ne verujem da zadatak moze da se uradi na nacin na kojim sam ja poceo, ali rekoh ajde da pitam, ko zna.

Re: Logaritamska jednacina

PostPoslato: Petak, 17. Januar 2020, 23:15
od Daniel
Potkrale su ti se dve greščice:
Frank je napisao:[dispmath]3^{\log^2_3x}+x^{\log_3x}=162\hspace{5mm}/\log_3[/dispmath][dispmath]\log_33^{\log^2_3x}+\log_3x^{\log_3x}=\log_3162[/dispmath]

Leva strana će nakon logaritmovanja biti jednaka [inlmath]\log_3\left(3^{\log^2_3x}+x^{\log_3x}\right)[/inlmath], ali za logaritmovanje ne važi distributivnost u odnosu na sabiranje, tako da to ne smemo pisati kao [inlmath]\log_33^{\log^2_3x}+\log_3x^{\log_3x}[/inlmath].

I između ova dva koraka postoji greška,
Frank je napisao:[dispmath]\log_33^{\log^2_3x}+\log_3x^{\log_3x}=\log_3162[/dispmath][dispmath]\log^2_3x+\log_3x=\log_3162[/dispmath]

Drugi sabirak na levoj strani neće biti [inlmath]\log_3x[/inlmath] već [inlmath]\log^2_3x[/inlmath] (naravno, ni ovako korigovana jednačina ne bi bila tačna zbog one prethodne greške).

Mislim da logaritmovanjem ne bismo ništa postigli. Može se uraditi na još jedan način, ne baš toliko elegantan kao taj u zbirci (ali takođe dovoljno elegantan ako se ne setimo tog koji je u zbirci), a to je da uvedemo smenu [inlmath]x^{\log_3x}=t[/inlmath] (na šta nas već nekako „vuče“ kad vidimo da se [inlmath]x^{\log_3x}[/inlmath] pojavljuje na dva mesta).

Re: Logaritamska jednacina

PostPoslato: Petak, 17. Januar 2020, 23:25
od Frank
Au, kakva greska. Hvala!