Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Kvadratna jednacina s parametrom

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Frank » Četvrtak, 23. Januar 2020, 22:08

Zadatak glasi:
Odrediti vrednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] tako da oba resenja jednacine [inlmath]\hspace{1mm}4x^2-4(m-2)x+m=0\hspace{1mm}[/inlmath] budu pozitivna.
Zadatak se moze uraditi preko Vietovih formula. Da bi resenja bila pozitivna moraju biti ispunjeni uslovi
[dispmath]x_1+x_2>0[/dispmath][dispmath]x_1\cdot x_2>0[/dispmath] Da bi resenja bila realna neophodno je postaviti dodatni uslov
[dispmath]D\ge0[/dispmath] Presek ova tri uslova dace konacno resenje zadatka.
Sad, interesuje me da li je ispravno zadatak resiti uz postavljanje uslova
[dispmath]D<0\hspace{2mm}\\
\text{i}\\
a>0.[/dispmath] Parabola ne sece [inlmath]x[/inlmath]-osu i "smesi se" tako da ce resenja uvek biti pozitivna. Sad ne znam da li je ovaj nacin ispravan jer se dobije pod korenom negativna vrednost, a resenja se traze u skupu realnih brojeva.
Gledao sam par postova o zadacima ovakvog tipa, ali je u njima uglavnom rec o trazenju parametra preko Vietovih veza.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 11 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Daniel » Četvrtak, 23. Januar 2020, 22:45

Frank je napisao:Parabola ne sece [inlmath]x[/inlmath]-osu i "smesi se" tako da ce resenja uvek biti pozitivna.

Si siguran? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7875
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4187 puta

Re: Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Frank » Četvrtak, 23. Januar 2020, 22:55

Tako su me ucili.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 11 puta

Re: Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Daniel » Četvrtak, 23. Januar 2020, 23:17

Zar nisi i sâm lepo napisao da je [inlmath]D\ge0[/inlmath] uslov da rešenja budu realna? Ako je [inlmath]D<0[/inlmath] rešenja nisu realna, i kako onda mogu biti pozitivna?

Ako parabola ima preseke s [inlmath]x[/inlmath]-osom, onda su rešenja kvadratne jednačine [inlmath]x[/inlmath]-koordinate tih presečnih tačaka i realna su. Ako parabola nema preseke s [inlmath]x[/inlmath]-osom, rešenja nisu realna.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7875
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4187 puta

Re: Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Daniel » Četvrtak, 23. Januar 2020, 23:35

Ček', moguće da se nismo razumeli... da li si mislio na rešenja po [inlmath]x[/inlmath], ili na rešenja po [inlmath]m[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7875
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4187 puta

Re: Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Frank » Četvrtak, 23. Januar 2020, 23:46

Meni je profesor rekao da sigurno moze da se radi preko uslova [inlmath]D<0[/inlmath] i [inlmath]a>0[/inlmath] (jer je uvek pozitivno), pa zato i pitam.
Evo jos jednog primera kod kojeg je vrednost uvek pozitivna, za svako [inlmath]x[/inlmath].
Jednacinu tipa [inlmath]\left(x^2+x+5\right)(x-5)>0[/inlmath] mozemo posmatrati kao dva odvojena slucaja
[dispmath]\left(x^2+x+5\right)<0\hspace{3.5mm}\land\hspace{3.5mm}(x-5)<0\hspace{7mm}\lor\hspace{7mm}\left(x^2+x+5\right)>0\hspace{3.5mm}\land\hspace{3.5mm}(x-5)>0[/dispmath] Kako je [inlmath]x^2+x+5>0[/inlmath] pozitivno za svako [inlmath]x[/inlmath] nejednacina se svodi na [inlmath](x-5)>0[/inlmath], to jest [inlmath]x>5[/inlmath].
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 11 puta

Re: Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Frank » Petak, 24. Januar 2020, 00:06

Daniel je napisao:Ček', moguće da se nismo razumeli... da li si mislio na rešenja po [inlmath]x[/inlmath], ili na rešenja po [inlmath]m[/inlmath]?

Iskreno, ne znam sta me tacno pitas. :think1:
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 11 puta

Re: Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Daniel » Petak, 24. Januar 2020, 01:14

Hajde onda da pitam ovako:
Frank je napisao:Da bi resenja bila realna neophodno je postaviti dodatni uslov
[dispmath]{\color{red}D}\ge0[/dispmath] Presek ova tri uslova dace konacno resenje zadatka.
Sad, interesuje me da li je ispravno zadatak resiti uz postavljanje uslova
[dispmath]{\color{blue}D}<0\hspace{2mm}\\
\text{i}\\
a>0.[/dispmath]

Da li crveno i plavo [inlmath]D[/inlmath] predstavljaju jednu istu diskriminantu, tj. diskriminantu zadate jednačine, ili predstavljaju diskriminante različitih (ne)jednačina?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7875
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4187 puta

Re: Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Frank » Petak, 24. Januar 2020, 13:06

Predstavljaju istu diskriminantu jednacine [inlmath]\hspace{1mm}4x^2-4(m-2)x+m=0\hspace{1mm}[/inlmath].
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 11 puta

  • +1

Re: Kvadratna jednacina s parametrom

Postod Daniel » Subota, 25. Januar 2020, 02:00

Onda ipak nije u pitanju onaj nesporazum na koji sam pomislio.

Imam utisak da zapravo mešaš dva pojma – vrednost kvadratne funkcije i nule kvadratne funkcije.
Vrednost kvadratne funkcije za neku određenu vrednost [inlmath]x[/inlmath] vidiš na grafiku kao [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu tačke parabole s datom [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom.
Nule kvadratne funkcije, kao što napisah u nekom od prethodnih postova, vidiš na grafiku kao [inlmath]x[/inlmath]-koordinate preseka parabole sa [inlmath]x[/inlmath]-osom (u slučaju da ne postoje presečne tačke, nule kvadratne funkcije su konjugovano-kompleksne).

Da se sad vratimo na zadatak.
Frank je napisao:Sad, interesuje me da li je ispravno zadatak resiti uz postavljanje uslova
[dispmath]D<0\hspace{2mm}\\
\text{i}\\
a>0.[/dispmath]

Nije ispravno. Ako je diskriminanta manja od nule, to znači da će rešenja jednačine biti konjugovano-kompleksna, a u zadatku se traži da budu pozitivna (i, samim tim, realna).
Diskriminanta, kao što si prvobitno napisao, treba da bude veća ili jednaka od nule. To će ti dati nejednačinu [inlmath]m^2-5m+4\ge0[/inlmath]. Presek rešenja te nejednačine i uslova [inlmath]x_1+x_2>0[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2>0[/inlmath] daće ti traženi skup rešenja po parametru [inlmath]m[/inlmath].

Frank je napisao:Jednacinu tipa [inlmath]\left(x^2+x+5\right)(x-5)>0[/inlmath] mozemo posmatrati kao dva odvojena slucaja

Ovaj zadatak se bitno razlikuje od zadatka o kojem je u ovoj temi reč. Dok se u citiranom zadatku traži za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] će nejednačina biti zadovoljena, u zadatku s početka teme traži se vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] tako da oba rešenja ([inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath]) budu pozitivna.

Uslovi [inlmath]D<0[/inlmath] i [inlmath]a>0[/inlmath] koriste se onda kada se traži da vrednost funkcije bude pozitivna za svako [inlmath]x[/inlmath].
U ovom zadatku se ne traži da vrednost funkcije bude pozitivna za svako x, već se traži da obe nule funkcije budu pozitivne.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7875
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4187 puta

Sledeća

Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 24. Februar 2020, 04:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs