Zadatak glasi: Resiti jednacinu
[dispmath]\sqrt{\log_x\sqrt{3x}}\cdot\log_3x=-1[/dispmath] Ja sam radio na sledeci nacin:
- Prvo sam postavio uslove definisanosti logaritma
[dispmath]x>0\hspace{3mm}\land\hspace{3mm}x\ne1\hspace{3mm}\land\hspace{3mm}\sqrt{3x}>0[/dispmath] - Da bi resenja bila u skupu realnih brojeva neophodno je postaviti dodatni uslov
[dispmath]\log_x\sqrt{3x}\ge0[/dispmath] - Sad se vracam na resavanje jednacine
[dispmath]\sqrt{\log_x\sqrt{3x}}=-\frac{1}{\log_3x};\hspace{5.5mm}\log_3x\ne0[/dispmath][dispmath]\sqrt{\log_x\sqrt{3x}}=-\log_3x[/dispmath] Sad analiziram znak leve i desne stane:
[inlmath]\log_3x[/inlmath] je strogo vece od nule, a minus ispred mu menja znak sto znaci da ce desna strana uvek biti negativna.
Leva strana se nalazi pod kvadratnim korenom sto znaci da ce njena vrednost biti [inlmath]\ge0[/inlmath].
Leva i desna strana su razlicitog znaka sto znaci da jednacina nema resenja. Medjutim u resenjima pise da je [inlmath]x=\frac{1}{9}[/inlmath], pa me zanima da li je greska kod mene ili mozda ipak resenje u zbirci nije tacno.