Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

Postod miljan1403 » Petak, 01. Maj 2020, 14:05

Probni prijemni ispit MATF – 10. jun 2017.
7. zadatak


Zadatak ide ovako: Broj celobrojnih rešenja nejednačine [inlmath]\sqrt{9x^2-6x+1}-\left|4x+3\right|\geq0[/inlmath] je:
Kada postavimo uslov za koren dobijamo da je za [inlmath]\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath], i onda postavljamo uslov za apsolutnu zagradu:
[dispmath]\left|4x+3\right|=\begin{cases}
4x+3, & x\geq-\frac{3}{4}\\
-4x-3, & x<-\frac{3}{4}
\end{cases}[/dispmath] To mi je sve poprilično jasno, ali onda koje uslove moram da postavim za iracionalnu jednačinu? Uzmimo prvi interval [inlmath]x\in\left(\infty,-\frac{3}{4}\right)[/inlmath]:
[inlmath]I:[/inlmath] [inlmath]\sqrt{9x^2-6x+1}\geq-4x-3[/inlmath], i uslovi za ovu jednačinu će biti:
[dispmath]\left[9x^2-6x+1\geq0\;\land\;-4x-3<0\right]\;\lor\;\left[9x^2-6x+1\geq\left(4x+3\right)^2\;\land\;-4x-3\geq0\right][/dispmath] Zar ne? :D
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 01. Maj 2020, 18:05, izmenjena samo jedanput
Razlog: Ispravka naslova teme (nije jednačina, već nejednačina)
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

Postod Frank » Petak, 01. Maj 2020, 14:41

Ja bih apsolutnu zagradu prebacio na desnu stranu. Sad, posto si siguran da su obe strane nenegativne, mozes jednostavno, bez postavljanja bilo kakvih uslova ili okretanja znaka, kvadrirati nejednacinu. Ako primetis da je [inlmath]\left|4x+3\right|^2=(4x+3)^2[/inlmath], zadatak se resava u tri reda.
Posto je koren definisan za svako [inlmath]x[/inlmath], on nema uticaja na konacno resenje.
Kad kvadriras celu nejednacinu i malo sredis, dobijas kvadratnu nejednacinu cija su resenja u intervalu [inlmath]\left[-4,-\frac {2}{7}\right][/inlmath], pa je ukupan broj celobrojnih resenja jednak [inlmath]4[/inlmath].
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

Postod miljan1403 » Petak, 01. Maj 2020, 14:54

Vidim kako to radi u ovom slučaju :D Ali šta radimo generalno kada imamo iracionalnu jednačinu sa [inlmath]\geq[/inlmath], jer nas (mene barem) nikada nisu učili za [inlmath]\leq[/inlmath] i [inlmath]\geq[/inlmath].

Hvala ti :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

Re: Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

Postod Frank » Petak, 01. Maj 2020, 15:11

Sve potpuno isto kao i kad imamo [inlmath]>[/inlmath] ili [inlmath]<[/inlmath], samo sto sad ukljucujemo granice intervala.
Da je u postavci zadatka iz ove teme pisalo [inlmath]>[/inlmath], onda [inlmath]4[/inlmath] ne bi predstavljala jedno od resenja nejednacine.
Uzmi i uvrsti [inlmath]4[/inlmath] u pocetni oblik nejednacine kada pise [inlmath]\ge[/inlmath], a uvrsti kada pise samo [inlmath]>[/inlmath]. Kad to isprobas sam ces doci do zakljucka. U prvom slučaju nejednacina ce biti zadovoljena, a u drugom nece.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

Postod miljan1403 » Petak, 01. Maj 2020, 15:32

Hvala ti na objašnjenju :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

Postod Daniel » Petak, 01. Maj 2020, 18:11

miljan1403 je napisao:i uslovi za ovu jednačinu će biti:
[dispmath]\left[9x^2-6x+1\geq0\;\land\;-4x-3<0\right]\;\lor\;\left[9x^2-6x+1\geq\left(4x+3\right)^2\;\land\;-4x-3\geq0\right][/dispmath] Zar ne? :D

Hteo si reći, uslovi za nejednačinu.
Nisam baš razumeo kako si došao do ovih uslova, ali možeš primetiti da uslovi koje si postavio jesu sledećeg oblika:
[dispmath](p\;\land\;q)\;\lor\;(p\;\land\;\lnot q)[/dispmath] gde je iskaz [inlmath]9x^2-6x+1\geq0[/inlmath] označen sa [inlmath]p[/inlmath], a iskaz [inlmath]-4x-3<0[/inlmath] označen sa [inlmath]q[/inlmath].
Sada, ako bi primenio distributivnost konjunkcije u odnosu na disjunkciju (objašnjeno ovde),
[dispmath]p\;\land\;(q\;\lor\;\lnot q)[/dispmath] a pošto je [inlmath]q\;\lor\;\lnot q[/inlmath] tačan iskaz, to možemo pisati kao
[dispmath]p\;\land\;\top[/dispmath] a to je isto što i [inlmath]p[/inlmath] (a za [inlmath]p[/inlmath] smo videli da je tačno za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]).



Frank ti je napisao kako se ovaj konkretan zadatak najlakše radi, ali za neki opštiji slučaj, ako bismo imali [inlmath]\sqrt{f(x)}\ge g(x)[/inlmath], prvo i osnovno je da mora biti [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] (kako bi nejednačina uopšte bila definisana). Zatim uočavamo da će, uz prethodni uslov, nejednačina biti ispunjena kad god je [inlmath]g(x)\le0[/inlmath] (jer će tada leva strana, koja je nenegativna, sigurno biti veća ili jednaka od desne strane). Tek ako je [inlmath]g(x)>0[/inlmath], e tada kvadriramo obe strane kako bismo za taj slučaj rešili nejednačinu. Dakle, nejednačina će biti zadovoljena onda kada važi:
[dispmath]f(x)\ge0\;\land\;\left(g(x)\le0\;\lor\;f(x)\ge g^2(x)\right)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

Postod miljan1403 » Subota, 02. Maj 2020, 14:26

Što se tiče uslova koji sam postavio. Njega sam postao jer je to po teoriji uslov koji se postavlja kada se radi iracionalna nejednačina sa [inlmath]>[/inlmath], ali sada dok pišem ovo shvatam da nisam samo tako jednostavno mogao da primenim tu formulu a da [inlmath]>[/inlmath] samo napišem kao [inlmath]\geq[/inlmath].

Daniel je napisao:Zatim uočavamo da će, uz prethodni uslov, nejednačina biti ispunjena kad god je [inlmath]g(x)\le0[/inlmath] (jer će tada leva strana, koja je nenegativna, sigurno biti veća ili jednaka od desne strane). Tek ako je [inlmath]g(x)>0[/inlmath], e tada kvadriramo obe strane kako bismo za taj slučaj rešili nejednačinu. Dakle, nejednačina će biti zadovoljena onda kada važi:

Nisam siguran da razumem šta želiš da kažeš. Možeš li da mi bolje objasniš šta znači "nenegativno"? :D
Pokušavam da napišem šta mi tačno nije jasno, ali ne uspevam. :think1:
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

Postod Daniel » Nedelja, 03. Maj 2020, 08:51

miljan1403 je napisao:Možeš li da mi bolje objasniš šta znači "nenegativno"? :D

Nenegativno je – ono što nije negativno, logično. A ono što nije negativno, to je ili pozitivno, ili je nula.
Može se i ovako reći: kada je [inlmath]x\ge0[/inlmath] tada je [inlmath]x[/inlmath] nenegativno, a kada je [inlmath]x>0[/inlmath] tada je [inlmath]x[/inlmath] pozitivno.
Dakle, razlika između nenegativnog i pozitivnog je u tome što nenegativno sadrži i nulu, dok pozitivno ne sadrži nulu.
Nadam se da je sad jasnije.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Iracionalna nejednačina sa veće jednako – probni prijemni MATF 2017.

Postod miljan1403 » Nedelja, 03. Maj 2020, 18:26

Mislim da mi je sada jasnije, i razumem šta želiš da mi kažeš. Ako budem imao još neke nedoumice, pisaću. :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Bing [Bot] i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs