Kvadratna jednačina – odrediti kvadratni koeficijent tako da koreni jednačine pripadaju intervalu...
Poslato: Četvrtak, 30. Jul 2020, 16:36
Pozdrav! Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
Neka su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] celi brojevi i [inlmath]a>0[/inlmath]. Ako jednacina [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath] ima dva različita rešenja u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], dokazati da je [inlmath]a\ge5[/inlmath].
Očigledno je u pitanju kvadratna jednačina. Kako se oba korena nalaze u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] sledi da je [inlmath]f(0)\cdot f(1)>0[/inlmath], tj. [inlmath]c(a+b+c)>0[/inlmath].
Takodje, moze se zaključiti da proizvod rešenja kvadratne jednačine takođe pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], tj. [inlmath]x_1x_2=\frac{c}{a}[/inlmath], [inlmath]0<\frac{c}{a}<1[/inlmath]. Iz ovog uslova dobijam da je [inlmath]c>0[/inlmath] i [inlmath]c<a[/inlmath].
Iz uslova da se [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena parabole nalazi u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] nalazim da je [inlmath]b<0[/inlmath] i [inlmath]b>-2a[/inlmath].
Da bi rešenja bila realna i različita postavio sam dodatni uslov [inlmath]b^2-4ac>0[/inlmath].
Koristeči činjenicu da su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] celi brojevi, kombinovao sam ova četiri uslova. Međutim, to me nije odvelo do konačnog rešenja. (BTW Iz ovolikih uslova zaključio sam samo da [inlmath]a[/inlmath] ne može biti [inlmath]1[/inlmath]. )
Da li je moj način razmišljanja ispravan i da li postoji neki originalniji put koji vodi do rešenja? Hvala unapred!
Neka su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] celi brojevi i [inlmath]a>0[/inlmath]. Ako jednacina [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath] ima dva različita rešenja u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], dokazati da je [inlmath]a\ge5[/inlmath].
Očigledno je u pitanju kvadratna jednačina. Kako se oba korena nalaze u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] sledi da je [inlmath]f(0)\cdot f(1)>0[/inlmath], tj. [inlmath]c(a+b+c)>0[/inlmath].
Takodje, moze se zaključiti da proizvod rešenja kvadratne jednačine takođe pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], tj. [inlmath]x_1x_2=\frac{c}{a}[/inlmath], [inlmath]0<\frac{c}{a}<1[/inlmath]. Iz ovog uslova dobijam da je [inlmath]c>0[/inlmath] i [inlmath]c<a[/inlmath].
Iz uslova da se [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena parabole nalazi u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] nalazim da je [inlmath]b<0[/inlmath] i [inlmath]b>-2a[/inlmath].
Da bi rešenja bila realna i različita postavio sam dodatni uslov [inlmath]b^2-4ac>0[/inlmath].
Koristeči činjenicu da su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] celi brojevi, kombinovao sam ova četiri uslova. Međutim, to me nije odvelo do konačnog rešenja. (BTW Iz ovolikih uslova zaključio sam samo da [inlmath]a[/inlmath] ne može biti [inlmath]1[/inlmath]. )
Da li je moj način razmišljanja ispravan i da li postoji neki originalniji put koji vodi do rešenja? Hvala unapred!