Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Postod Frank » Subota, 08. Avgust 2020, 15:00

Pozdrav! Imam problem sa sledećim zadatkom:
Rešiti sistem jednačina
[dispmath]10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\\
3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0[/dispmath] Rešenje: [inlmath](2,1)[/inlmath]
Oduzimanjem druge jednačine od prve dobija se
[dispmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/dispmath] Iz novodobijene jednačine ne može se ništa zaključiti, a izražavanje jedne promenljive preko druge pa uvrštavanje u neku od "polaznih" jednačina sistema mi se čini preterano komplikovano.
Svaka ideja kako završiti zadatak bi dobro došla. Hvala!
Oduzimanjem druge jednačine od prve dobije se vrlo lepa jednačina (3 člana imaju koeficijent [inlmath]1[/inlmath], a dva člana koeficijent [inlmath]3[/inlmath]), pa imam utisak da ovo (oduzimanje jednačina) jeste put koji vodi do konačnog rešenja.

Ko bi rekao da sistem od dve ovako glomazne jednačine ima ovako fino rešenje. :D
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Postod drmm » Subota, 08. Avgust 2020, 15:44

Pozdrav! Da li si razmišljao možda o tome da odgovarajućim operacijama nad datim jednačinama, dobiješ jednačinu bez monoma [inlmath]xy[/inlmath]. Naime, ako pomnožiš prvu jednačinu sa [inlmath]5[/inlmath], a drugu sa [inlmath]2[/inlmath] i onda ih sabereš, dobija se:
[dispmath]56x^2+21y^2-224x-42y+225=0[/dispmath] Pokušaj da transformišeš taj izraz na pogodan način odakle možeš zaključiti nešto o rešenjima te jednačine pa samim tim i datog sistema jednačina.
drmm  OFFLINE
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 19 puta

Re: Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Postod Frank » Subota, 08. Avgust 2020, 16:40

Hvala na pomoći, uspeo sam da uradim zadatak. No imam jednu nedoumicu, pa da i nju raščistimo:
Dakle, nakon eliminacije monoma dobija se jednačina
[dispmath]56x^2+21y^2-224x-42y+245=0[/dispmath] (umesto [inlmath]225[/inlmath] treba da piše [inlmath]245[/inlmath]. Pretpostavljam da je greška u kucanju, ali da napomenem, za svaki slučaj.)
Jednačinu možemo transformisati u oblik
[dispmath]\left(\sqrt{56}x-2\sqrt{56}-\sqrt{21}y+\sqrt{21}\right)\left(\sqrt{56}x-2\sqrt{56}+\sqrt{21}y-\sqrt{21}\right)=0[/dispmath] Da je u tekstu zadatka naglašeno da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] racionalni brojevi, rešenja bi bila očita, ali ovako... Da li ja nešto previđam ili je nešto drugo u pitanju?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +2

Re: Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Postod drmm » Subota, 08. Avgust 2020, 16:49

Pre svega izvinjavam se na grešci. Prvi put kad sam radio zadatak pogrešno sam izračunao, ali mi je ostalo u malom mozgu tih [inlmath]225[/inlmath]. Nego, mislim da to što si napisao nije tačno, jer se dobija:
[dispmath]56(x-2)^2+21(y-1)^2=0[/dispmath] (verovatno si pogrešio u znaku izmedju izraza [inlmath]56(x-2)^2[/inlmath] i [inlmath]21(y-1)^2[/inlmath]. Ali, odavde je lako zaključiti da važi [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]y=1[/inlmath].

P.S. (Edit) Štaviše, primetio sam da izraz koji si dobio prvi put:
[dispmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/dispmath] se takodje može transformisati u zbir dva kvadrata:
[dispmath]\left(y-\frac{1}{2}x\right)^2+\frac{3}{4}(x-2)^2=0[/dispmath] odakle dobijamo [inlmath]x=2y[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath], pa samim tim i [inlmath]y=1[/inlmath].
drmm  OFFLINE
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 19 puta

Re: Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Postod Frank » Subota, 08. Avgust 2020, 17:28

drmm je napisao:verovatno si pogrešio u znaku izmedju izraza [inlmath]56(x-2)^2[/inlmath] i [inlmath]21(y-1)^2[/inlmath].

Upravo to.
Tvoj način (eliminacija [inlmath]xy[/inlmath]) je po meni najelegantiniji, jer se dobije oblik iz kojeg je dosta lakše uočiti zbir kvadrata binoma nego iz oblika [inlmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/inlmath].
Još jednom. hvala puno! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Postod Daniel » Nedelja, 09. Avgust 2020, 00:06

Frank je napisao:Dakle, nakon eliminacije monoma dobija se jednačina
[dispmath]56x^2+21y^2-224x-42y+245=0[/dispmath]

Radi lakšeg računa, preporučujem deljenje ove jednačine sa [inlmath]7[/inlmath] (lako se uočava da su svi njeni koeficijenti deljivi sa [inlmath]7[/inlmath], pa bi bila gre'ota to ne iskoristiti).



Drugi način (mada je po meni najbolji ovaj koji je drmm pokazao) bio bi da jednačinu [inlmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/inlmath] posmatramo bilo kao kvadratnu po [inlmath]x[/inlmath], bilo kao kvadratnu po [inlmath]y[/inlmath] – i da postavimo uslov nenegativnosti njene diskriminante (što je uslov, jel'te, da rešenja budu realna). Recimo da je rešavamo po [inlmath]x[/inlmath] (što znači da [inlmath]y[/inlmath] privremeno posmatramo kao konstantu):
[dispmath]x_{1,2}=\frac{y+3\pm\sqrt D}{2\cdot1}\\
D=(y+3)^2-4\cdot1\cdot\left(y^2+3\right)=\cdots=-3\left(y-1\right)^2\ge0\quad\Longrightarrow\quad\left(y-1\right)^2\le0\quad\Longrightarrow\quad y-1=0[/dispmath] (Do istog zaključka bismo došli i da smo na isti način rešavali po [inlmath]x[/inlmath] ili po [inlmath]y[/inlmath] jednačinu [inlmath]10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0[/inlmath], s tim da bi račun bio nešto komplikovaniji, jer je i sama jednačina nešto komplikovanija.)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Postod Frank » Nedelja, 09. Avgust 2020, 07:55

Daniel je napisao:Drugi način (mada je po meni najbolji ovaj koji je drmm pokazao) bio bi da jednačinu [inlmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/inlmath] posmatramo bilo kao kvadratnu po [inlmath]x[/inlmath], bilo kao kvadratnu po [inlmath]y[/inlmath] – i da postavimo uslov nenegativnosti njene diskriminante (što je uslov, jel'te, da rešenja budu realna)

Nije mi najjasniji ovak postupak jer u tekstu zadatka nigde nije naglašeno da rešenja moraju biti realna, pa ako radimo na ovaj način možemo izgubiti neka rešenja.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Postod Daniel » Nedelja, 09. Avgust 2020, 09:25

Istina, u tekstu nije navedeno da se traže realna rešenja. Ponelo me to što su se u svim zadacima ovakvog tipa koje sam ja dosad viđao tražila realna rešenja. Što, slažem se, nije razlog da i ovde podrazumevamo da su rešenja realna, ako to u tekstu nije naglašeno.
E sad, problem je što, ako ne isključujemo mogućnost kompleksnih rešenja, tada ni drmm-ovo rešenje nije potpuno, jer tada iz [inlmath]56(x-2)^2+21(y-1)^2=0[/inlmath] ne možemo zaključiti da su faktori [inlmath](x-2)^2[/inlmath] i [inlmath](y-1)^2[/inlmath] jednaki nuli, budući da u kompleksnom domenu mogu biti i negativni.
U tom slučaju, ne vidim (bar ne trenutno) nijedan iole jednostavniji način za rešavanje ovog sistema – može se [inlmath]x[/inlmath] napisati kao [inlmath]a+ib[/inlmath], a [inlmath]y[/inlmath] kao [inlmath]c+id[/inlmath] [inlmath](a,b,c,d\in\mathbb{R})[/inlmath], pa dobiti sistem četiri jednačine s četiri nepoznate...
Lično mislim (mada ne mogu da tvrdim) da je u tekstu greškom izostavljeno da se traže realna rešenja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sistem kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Postod Frank » Nedelja, 09. Avgust 2020, 09:42

Daniel je napisao:Lično mislim (mada ne mogu da tvrdim) da je u tekstu greškom izostavljeno da se traže realna rešenja.

Da stvar bude još gora, u tekstovima nekih sličnih zadataka je naglašeno da se traže realna rešenja, dok se u rešenjima istih nalaze i kompleksna rešenja.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Bing [Bot] i 45 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 07:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs