Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Stepenovanje i korenovanje brojeva

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Stepenovanje i korenovanje brojeva

Postod ubavic » Sreda, 21. Avgust 2013, 17:22

Kratki tekst o operacijama stepenovanja, korenovanja i logaritmovanja u skupu realnih brojeva [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], sa kratkim osvrtom na imaginarnu jedinicu [inlmath]i[/inlmath]. U tekstu su neke formule veoma male. Da biste bili sigurni da ste ih dobro pročitali, a da pri tom ne oćoravite, kliknite na bilo koju formulu i ona bi trebalo da se uveliča.

STEPENOVANJE

Sa stepenovanjem se prvi put susrećemo još u osnovnoj školi. Tada smo definisali stepenovanje nekog realnog broja [inlmath]a[/inlmath] kao uzastopno množenje broja [inlmath]a[/inlmath] samim sobom, tj.:
[dispmath]a^n =1\times\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a }_{n\;\mathrm{puta}}\quad\left(n\in\mathbb{N}\right)[/dispmath]
Stepenovanje broja možemo još i da definišemo rekurzivnom formulom [inlmath]a^{n+1}=a^n\cdot a[/inlmath], sa početnim uslovom [inlmath]a^0=1[/inlmath].
Broj koji stepenujemo, [inlmath]a[/inlmath], nazivamo baza ili osnova, a broj kojim stepenujemo, [inlmath]n[/inlmath], nazivamo eksponent ili izložilac. Naravno, izraz [inlmath]a^n[/inlmath] čitamo "a na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen". Iz ove definicije slede neke zanimljive osobine stepenovanja, koje ćemo i dokazati.

1. Nulti stepen svakog broja je [inlmath]1[/inlmath]. Pogledajmo našu definiciju stepenovanja, u slučaju kada je [inlmath]n=0[/inlmath]. Pošto je [inlmath]n=0[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath] će se u jednačini pojaviti nula puta, pa ostajemo samo sa jedinicom.
[dispmath]a^0=1\times\cdots =1[/dispmath]
Matematičari se i dalje ne slažu oko pitanja koliko iznosi [inlmath]0^0[/inlmath], mada je uobičajno da se taj izraz ne definiše. Za detalje pogledati ovaj članak: link (na engleskom.)

2a. Proizvod dva različita broja [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] sa istim izložiocem [inlmath]n[/inlmath] jednak je proizvodu brojeva [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] dignutim na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen, tj. operacija stepenovanja je distributivna u odnosu na operaciju množenja.
[dispmath]a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n[/dispmath]
DOKAZ:
[dispmath]a^n\cdot b^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\;\mathrm{puta}}\times\underbrace{b\cdot b\cdot b\cdots b}_{n\;\mathrm{puta}}=\underbrace{((a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdots (a\cdot b))}_{n\;\mathrm{puta}}=\left(a\cdot b\right)^n[/dispmath]
2b. Količnik dva različita broja [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] sa istim izložiocem [inlmath]n[/inlmath] jednak je količniku brojeva [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] dignutim na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen.
[dispmath]\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n[/dispmath]
DOKAZ:
[dispmath]\frac{a^n}{b^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}^{n\;\mathrm{puta}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot b\cdots b}_{n\;\mathrm{puta}}}=\underbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdots\frac{a}{b}}_{n\;\mathrm{puta}}=\left(\frac{a}{b}\right)^n[/dispmath]
3a. Proizvod dve iste baze sa različitim izložiocima [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] jednak je bazi podignutoj na [inlmath](m+n)[/inlmath]-ti stepen.
[dispmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/dispmath]
DOKAZ:
[dispmath]a^m\cdot a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{m\;\mathrm{puta}}\times\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\;\mathrm{puta}}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{m+n\;\mathrm{puta}}=a^{m+n}[/dispmath]
3b. Količnik dve iste baze sa različitim izložiocima [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] jednak je bazi podignutoj na [inlmath](m-n)[/inlmath]-ti stepen.
[dispmath]\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}[/dispmath]
DOKAZ:
[dispmath]\frac{a^m}{a^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}^{m\;\mathrm{puta}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\;\mathrm{puta}}}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}^{m-n\;\mathrm{puta}}\cdot\cancel{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}^{n\;\mathrm{puta}}}}{\cancel{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\;\mathrm{puta}}}}=a^{m-n}[/dispmath]
4. Stepen [inlmath]m[/inlmath] broja [inlmath]a^n[/inlmath] jednak je broju [inlmath]a[/inlmath] na [inlmath](m\cdot n)[/inlmath]-ti stepen.
[dispmath]\left(a^n\right)^m=a^{m\cdot n}[/dispmath]
DOKAZ:
[dispmath]\left(a^n\right)^m=\left(\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a }_{n\;\mathrm{puta}}\right)^m=\underbrace{\left(\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\;\mathrm{puta}}\right)\times\left(\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\;\mathrm{puta}}\right)\cdots\left(\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\;\mathrm{puta}}\right)}_{m\;\mathrm{puta}}=\left(\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{m\cdot n\;\mathrm{puta}}\right)=a^{m\cdot n}[/dispmath]
Iz ovog dokaza neposredno sledi dokaz da je stepenovanje stepenovanog broja komutativno.
[dispmath]\left(a^n\right)^m=a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}=\left(a^m\right)^n[/dispmath]
Obratite pažnju na to da stepenovanje stepenovanog broja [inlmath]\left(a^n\right)^m[/inlmath] i stepenovanje stepena [inlmath]a^{n^m}[/inlmath] nisu isto. Za stepenovanje stepena ne važi osobina komutativnosti [inlmath]a^{m^n}\ne a^{n^m}[/inlmath], zato što i za samo stepenovanje ne važi ista osobina [inlmath]a^n\ne n^a[/inlmath]. Takođe, ne važi osobina asocijativnosti za stepenovanje [inlmath]a^{(m^n)}\ne\left(a^m\right)^n[/inlmath]. Stepenovanje nije distributivno u odnosu na sabiranje [inlmath](a+b)^n\ne a^n+b^n[/inlmath]. Ova greška je toliko česta među učenicima, da je dobila svoje ime na engleskom: Freshman's dream.

Stepenovanje brojem iz skupa [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath]
Pogledajmo sledeću osobinu stepenovanja: [inlmath]\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}[/inlmath]. U slučaju kada je [inlmath]m>n[/inlmath], nemamo nikakvih problema da izračunamo stepen broja, jer [inlmath]m-n>0[/inlmath]. U slučajevima kada je [inlmath]m<n[/inlmath], dolazimo do toga da je izložilac negativan broj. Zato je potrebno da pokažemo šta znači dizati realan broj na negativan celobrojni stepen. Primetimo sledeće: Po osobini množenja dve iste baze sa različitim izložiocima dobijamo istu bazu dignutu na zbir ta dva izložioca: [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/inlmath]. Šta bi bilo ako bi jedan od ta dva izložioca bio negativan?
[dispmath]a^m\cdot a^{-m}=a^{m-m}=a^0=1[/dispmath]
Dobili bismo [inlmath]1[/inlmath]. Sada možemo da rešimo jednačinu po [inlmath]a^{-m}[/inlmath]:
[dispmath]a^m\cdot a^{-m}=1[/dispmath]
prostom algebarskom transformacijom dobijamo:
[dispmath]\enclose{box}{a^{-m}=\frac{1}{a^m}}[/dispmath]
Gornja uokvirena jednačina jeste definicija podizanja baze na izložioce iz skupa negativnih celih brojeva. Sada izložilac može biti bilo koji broj iz skupa celih brojeva [inlmath]\mathbb{Z}=\{\ldots -3,-2,-1,0,1,2,3\ldots\}[/inlmath]

Stepenovanje brojem iz skupa [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath]
Skup [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] označava sve brojeve koji se mogu predstaviti u obliku razlomka [inlmath]\frac{m}{n}[/inlmath], gde su [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] elementi skupa celih brojeva [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath]. Primetimo da se svaki razlomak [inlmath]\frac{m}{n}[/inlmath] može napisati kao [inlmath]m\cdot\frac{1}{n}[/inlmath]. Nas zasada interesuju samo razlomci oblika [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath], tzv. egipatski razlomci ili recipročni brojevi, jer, kao što smo videli, svi ostali razlomci se mogu dobiti iz egipatskih množenjem celim brojem. Šta bi se desilo ako bi eksponent u našem slučaju bio razlomak [inlmath]a^{\frac{1}{n}}[/inlmath]? Po osobini dizanja stepenovanog broja na neki stepen, dobili bismo: [inlmath]\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a[/inlmath]. Kao što vidimo, broj [inlmath]a^{\frac{1}{n}}[/inlmath] je takav da, kada bismo ga podigli na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen, dobili bismo sam broj [inlmath]a[/inlmath]. Možda će neko prepoznati da je ovo, u stvari, [inlmath]n[/inlmath]-ti koren iz nekog broja. Pa definišemo sledeće:
[dispmath]\enclose{box}{a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}}[/dispmath]
KORENOVANJE

Korenovanje je jedna od dve inverzne funkcije stepenovanja. Po dogovoru, [inlmath]\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}[/inlmath].
Treba obratiti pažnju i ne mešati činjenice da je broj [inlmath]a[/inlmath] na stepen [inlmath]-n[/inlmath] recipročna vrednost broja [inlmath]a^n[/inlmath], dok je broj [inlmath]a[/inlmath] dignut na recipročnu vrednost broja [inlmath]n[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath]-ti koren iz tog broja.
Za korenovanje važe slične osobine kao i za stepenovanje:
[dispmath]\begin{array}{ll}
1. & \sqrt[1]{a}=a\\
2. & \sqrt[n]{a^n}=a\\
3. & \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\\
4. & \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\\
5. & \sqrt[n]{a^m}=\left(a^m\right)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\\
6. & \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}=\sqrt[m\cdot n]{a}=\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}
\end{array}[/dispmath]
Kao i stepenovanje, korenovanje nije distributivno u odnosu na operaciju sabiranja: [inlmath]\sqrt[n]{a+b}\ne\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}[/inlmath]

Stepenovanje i korenovanje negativnih bojeva
Za gornje operacije (stepenovanje i korenovanje) nad brojem [inlmath]a[/inlmath], rekli smo da [inlmath]a[/inlmath] pripada skupu realnih brojeva. Ipak, treba biti veoma oprezan kada se radi sa negativnim brojevima:
Ako stepenujemo negativan broj, dobijamo sledeće vrednosti:
Ako je stepen paran broj, tada je [inlmath]a^n>0[/inlmath]. Ako je stepen neparan broj, tada je [inlmath]a^n<0[/inlmath]. Ova zakonitost proizilazi iz činjenice da se pri parnim stepenima svi minusi poništavaju prilikom množenja, dok će kod neparnih stepena uvek ostati jedan član koji se neće poništiti sa svojim parom. Primer:
[dispmath](-1)^3=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=1\cdot (-1)=-1\\
(-1)^4=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=1\cdot 1=1[/dispmath]
Zaključujemo da su za pozitivne baze svi stepeni pozitivni, dok su za negativne baze samo parni stepeni pozitivni.

Treba napomenuti da, iako važi da je [inlmath](-a)^{2m}=a^{2m}[/inlmath], za korenovanje se, kada je [inlmath]n[/inlmath] parno, uvek uzima pozitivna vrednost: [inlmath]\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|[/inlmath]

Negativni brojevi imaju samo neparne realne korene, dok njihovi parni koreni ne postoje u skupu realnih brojeva. Zbog toga se u matematici uveo pojam imaginarne jedinice [inlmath]i[/inlmath], koja se definiše kao [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Koristeći imaginarnu jedinicu možemo naći bilo koji koren bilo kog realnog broja. Imaginarna jedinica ne pripada skupu realnih brojeva, već skupu imaginarnih brojeva koji se obeležava sa [inlmath]\mathbb{I}[/inlmath]. Nekoliko primera sledi, a detaljnije o imaginarnoj jedinici naći ćete na nekom drugom postu.
[dispmath](2i)^2=-4\\
-9=\left(3i\right)^2[/dispmath]
Stepenovanje brojem iz skupa [inlmath]\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}[/inlmath]
Ako broj [inlmath]n[/inlmath] pripada skupu iracionalnih brojeva [inlmath]\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}[/inlmath], tada se [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen realnog broja [inlmath]a[/inlmath] definiše kao granična vrednost:
[dispmath]\lim_{\frac{a}{b}\to n}r^{\frac{a}{b}}=r^n[/dispmath]
Eksponencijalna funkcija
Funkcija zadata formulom:
[inlmath]y=a^x\quad a\in\mathbb{R},\;a\ge 0[/inlmath] naziva se eksponencijalna funkcija. Ovde ćemo navesti neke osnovne karakteristike takve funkcije.
– kriva ove funkcije seče [inlmath]y[/inlmath]-osu u tački [inlmath](0,1)[/inlmath], samo ako je [inlmath]a>0[/inlmath];
– funkcija može imati samo pozitivne vrednosti, [inlmath]y>0[/inlmath];
– za [inlmath]a=0[/inlmath] funkcija je konstantna i iznosi [inlmath]0[/inlmath] (definisana samo za pozitivne vrednosti [inlmath]x[/inlmath]-a), za [inlmath]0<a<1[/inlmath] funkcija je opadajuća, za [inlmath]a=1[/inlmath] funkcija je konstanta i iznosi [inlmath]1[/inlmath], za [inlmath]a>1[/inlmath] funkcija je rastuća.

Slika

Kvadratna funkcija
Funkciju oblika:
[inlmath]y=ax^2\quad a\in\mathbb{R}[/inlmath] nazivamo kvadratna funkcija. Kvadratna funkcija može biti i u obliku polinoma drugog stepena: [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath]. Za detalje o ovoj funkciji pogledati Danielov post o animacijama funkcije: link

LOGARITMI

Videli smo da je korenovanje jedna inverzna operacija operacije stepenovanja, tj. ako znamo koji je krajnji rezultat [inlmath]y[/inlmath] i stepen [inlmath]n[/inlmath], možemo izračunati prvobitni broj [inlmath]x[/inlmath] koji je podignut na stepen [inlmath]n[/inlmath] da bismo dobili krajnji rezultat [inlmath]y[/inlmath], formulom [inlmath]x=\sqrt[n]{y}[/inlmath]. Ali, postoje slučajevi kada znamo broj koji stepenujemo i krajnji rezultat, ali ne znamo stepen. Zbog toga se uvodi pojam logaritma.
Logaritam broja [inlmath]b[/inlmath] za osnovu [inlmath]a[/inlmath] je realan broj [inlmath]x[/inlmath] kojim treba stepenovati osnovu [inlmath]a[/inlmath], da bi se dobio pozitivan broj [inlmath]b[/inlmath].
[dispmath]\enclose{box}{\log_ab=x\quad\Leftrightarrow\quad b=a^x\quad (a,b>0)\quad a\ne 1}[/dispmath]
Neke osobine logaritma koje nećemo dokazivati ovde, ali je lako da ih sami dokažete kao dobra vežba.
Za sve realne pozitivne brojeve [inlmath]a,b,c,x,y\quad a,b,c\ne 1[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{ll}
1. & \log_a1=0\\
2. & \log_aa=1\\
3. & \log_a(x\cdot y)=\log_ax+\log_ay\\
4. & \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_ax-\log_ay\\
5. & \log_ax^y=y\cdot\log_ax\\
6. & \log_a\sqrt[y]{x}=\frac{log_ax}{y}\\
7. & \log_{a^b}x=\frac{1}{b}\log_ax\\
8. & \log_ab\cdot\log_ba=1\\
9. & \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\\
10. & a^{\log_ab}=b
\end{array}[/dispmath]
Za bazu se najčešće uzimaju ili baza [inlmath]10[/inlmath] – tzv. dekadni logaritam, koji se obeležava samo sa [inlmath]\log[/inlmath], ili baza [inlmath]e[/inlmath] – tzv. prirodni logaritam, koji se obeležava sa [inlmath]\ln[/inlmath]. Broj [inlmath]e[/inlmath] je iracionalna konstanta čija približna vrednost iznosi [inlmath]2,7183[/inlmath]. U informatici se često koristi logaritam sa bazom [inlmath]2[/inlmath] (binarni logaritam, obeležava se ponekad sa [inlmath]\mathrm{lb}[/inlmath]). Logaritme je u matematiku uveo škotski matematičar John Napier 1614. Reč logaritam je izvedena iz grčhih reči logos (λόγος) i aritmos (ἀριθμός).

Logaritamska funkcija
Za funkciju oblika [inlmath]y=\log_ax\quad a>0[/inlmath] kažemo da je logaritamska.
Graf funkcije:

Slika

Primetimo da je:
1. Funkcija je definisana samo za pozitivne vrednosti [inlmath]x[/inlmath]-a.
2. Kriva funkcije uvek seče [inlmath]x[/inlmath]-osu u tački [inlmath](1,0)[/inlmath].
3. Za [inlmath]a<1[/inlmath] funkcija opada, za [inlmath]a=1[/inlmath] funkcija nije definisana, dok za [inlmath]a>1[/inlmath] funkcija raste.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 492
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 328 puta
Pohvaljen: 473 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 14 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 23. Jun 2018, 10:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs