Tinker je napisao:i na kraju dobio da je član [inlmath]a_{13}=\sqrt{8189}\approx91[/inlmath].
Blizu si, treba da se dobije [inlmath]a_{13}=\sqrt{8191}[/inlmath].
Tinker je napisao:Međutim, u slučaju da nisam hteo ovako da idem "peške", koja se pravilnost tu mogla uočiti?
U ovom slučaju je bilo lako jer nije bio veliki posao naći prvih [inlmath]13[/inlmath] članova. Ali da je trebalo odrediti stoti ili tako neki viši član, onda bi već moralo da se ide na uočavanje pravilnosti.
Prvih recimo šest članova niza glase: [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]\sqrt3[/inlmath], [inlmath]\sqrt7[/inlmath], [inlmath]\sqrt{15}[/inlmath], [inlmath]\sqrt{31}[/inlmath], [inlmath]\sqrt{63}[/inlmath].
Prvih šest stepena dvojke iznose: [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath], [inlmath]16[/inlmath], [inlmath]32[/inlmath], [inlmath]64[/inlmath].
Može se uočiti da članove datog niza dobijemo tako što od odgovarajućeg stepena dvojke oduzmemo [inlmath]1[/inlmath], a zatim to korenujemo. Npr. treći član niza dobijemo tako što od [inlmath]2^3[/inlmath] (tj. od [inlmath]8[/inlmath]) oduzmemo [inlmath]1[/inlmath], dobijemo [inlmath]7[/inlmath], pa onda tu sedmicu korenujemo i dobijemo [inlmath]\sqrt7[/inlmath]. Znači, [inlmath]a_3=\sqrt{2^3-1}[/inlmath]. Isto tako dobijemo i [inlmath]a_4=\sqrt{2^4-1}[/inlmath], [inlmath]a_5=\sqrt{2^5-1}[/inlmath] itd. Za [inlmath]a_n[/inlmath] će onda, po toj pravilnosti, biti [inlmath]a_n=\sqrt{2^n-1}[/inlmath].
Tinker je napisao:ali želim da budem siguran u slučaju da naiđem na slične zadatke u budućnosti.
Tako i treba.
Kako bismo bili sigurni da će uočena pravilnost članova niza važiti za sve članove, najsigurnije je tu pravilnost računski izvesti. Napišemo vezu susednih članova za prvih [inlmath]n[/inlmath] članova (pri čemu [inlmath]a_{n+1}=\sqrt{2a_n^2+1}[/inlmath] možemo kvadrirati pa napisati kao [inlmath]a_{n+1}^2=2a_n^2+1[/inlmath], uz uslov da su svi članovi pozitivni):
[dispmath]a_2^2=2a_1^2+1\\
a_3^2=2a_2^2+1\\
a_4^2=2a_3^2+1\\
\vdots\\
a_{n-1}^2=2a_{n-2}^2+1\\
a_n^2=2a_{n-1}^2+1\\[/dispmath] Kako bismo pri kasnijem sabiranju ovih [inlmath]n-1[/inlmath] jednakosti skratili ove kvadrate na levim i na desnim stranama, potrebno je da svaku prethodnu jednakost pomnožimo prvim većim stepenom dvojke u odnosu na narednu. Znači, poslednju [inlmath](n-1).[/inlmath] jednakost množimo sa [inlmath]1[/inlmath], pretposlednju [inlmath](n-2).[/inlmath] množimo sa [inlmath]2[/inlmath], zatim [inlmath](n-3).[/inlmath] jednakost množimo sa [inlmath]2^2[/inlmath]... treću množimo sa [inlmath]2^{n-4}[/inlmath], drugu množimo sa [inlmath]2^{n-3}[/inlmath] i prvu množimo sa [inlmath]2^{n-2}[/inlmath]:
[dispmath]2^{n-2}a_2^2=2^{n-1}a_1^2+2^{n-2}\\
2^{n-3}a_3^2=2^{n-2}a_2^2+2^{n-3}\\
2^{n-4}a_4^2=2^{n-3}a_3^2+2^{n-4}\\
\vdots\\
2a_{n-1}^2=2^2a_{n-2}^2+2\\
a_n^2=2a_{n-1}^2+1\\[/dispmath] Sada će se prilikom sabiranja svih ovih jednakosti skratiti [inlmath]2^{n-2}a_2^2[/inlmath] na levoj i [inlmath]2^{n-2}a_2^2[/inlmath] na desnoj strani, isto tako i [inlmath]2^{n-3}a_3^2[/inlmath] na levoj i [inlmath]2^{n-3}a_3^2[/inlmath] na desnoj strani itd... sve do [inlmath]2a_{n-1}^2[/inlmath], koji se takođe skraćuju na levoj i na desnoj strani. Ostaje sledeće:
[dispmath]a_n^2=2^{n-1}a_1^2+\underbrace{1+2+\cdots+2^{n-4}+2^{n-3}+2^{n-2}}_{\text{geometrijski niz}}[/dispmath] Nakon izračunavanja sume geometrijskog niza i uvrštavanjem [inlmath]a_1=1[/inlmath] (po uslovu zadatka), dobije se [inlmath]a_n^2=2^n-1[/inlmath]. Znajući da su članovi ovog niza pozitivni, mogu se korenovati obe strane i konačno dobiti [inlmath]a_n=\sqrt{2^n-1}[/inlmath].