Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Neobičan niz – Građevinski 2003.

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Neobičan niz – Građevinski 2003.

Postod Tinker » Utorak, 16. Januar 2018, 01:34

Radio sam nizove i naišao na ovaj neobičan, barem je meni bio malo neobičan zadatak. :D Elem, zadatak glasi:

Ako je [inlmath]a_1=1[/inlmath] i [inlmath]a_{n+1}=\sqrt{2a_n^2+1}[/inlmath] za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], onda [inlmath]a_{13}[/inlmath] pripada intervalu:

[inlmath]A)\;(70,80)\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;(100,110)\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{C)}\;(90,100)\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;(60,70)\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;(80,90)[/inlmath]

Bio bih zahvalan na bilo kakvoj pomoći, ili barem nekom hintu kako da rešim ovaj zadatak, pošto ja baš nemam apsolutno nikakvu ideju. :D
EDIT: Ovo je 1. zadatak na roku 2003 Građevinskog fakulteta u Beogradu. :D
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 21 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Neobičan niz – Građevinski 2003.

Postod Daniel » Utorak, 16. Januar 2018, 01:58

Jesi li pokušao da izračunaš prvih nekoliko članova niza i da uočiš pravilnost?
Sve i da ne uočiš pravilnost, uvek možeš, kao onaj najmanje praktičan način ali koji ipak vrši posô, izračunati prvih [inlmath]13[/inlmath] članova niza, zar ne?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7008
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3635 puta
Pohvaljen: 3819 puta

Re: Neobičan niz – Građevinski 2003.

Postod Tinker » Utorak, 16. Januar 2018, 02:16

Da, slažem se sa tom konstatacijom Daniele, ali o kom nizu je ovde uopšte reč, to nije ni spomenuto u zadatku.
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 21 puta

  • +1

Re: Neobičan niz – Građevinski 2003.

Postod Daniel » Utorak, 16. Januar 2018, 02:19

Reč je o rekurentnom nizu, kod kojeg je poznat prvi član i poznata je veza između dva susedna člana.
Drugi član niza odrediš tako što u formulu [inlmath]a_{n+1}=\sqrt{2a_n^2+1}[/inlmath] uvrstiš [inlmath]n=1[/inlmath].
Treći član niza odrediš tako što u formulu [inlmath]a_{n+1}=\sqrt{2a_n^2+1}[/inlmath] uvrstiš [inlmath]n=2[/inlmath].
Itd.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7008
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3635 puta
Pohvaljen: 3819 puta

Re: Neobičan niz – Građevinski 2003.

Postod Tinker » Utorak, 16. Januar 2018, 02:30

Da, kao što si i naglasio, uvrstio sam svaki od datih brojeva i na kraju dobio da je član [inlmath]a_{13}=\sqrt{8189}\approx91[/inlmath]. Međutim, u slučaju da nisam hteo ovako da idem "peške", koja se pravilnost tu mogla uočiti? :unsure:
Izvinjavam se ako malo pravim problem oko ovoga, ispalo je dosta lako, ali želim da budem siguran u slučaju da naiđem na slične zadatke u budućnosti. :D
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 21 puta

  • +1

Re: Neobičan niz – Građevinski 2003.

Postod Daniel » Utorak, 16. Januar 2018, 03:46

Tinker je napisao:i na kraju dobio da je član [inlmath]a_{13}=\sqrt{8189}\approx91[/inlmath].

Blizu si, treba da se dobije [inlmath]a_{13}=\sqrt{8191}[/inlmath].

Tinker je napisao:Međutim, u slučaju da nisam hteo ovako da idem "peške", koja se pravilnost tu mogla uočiti? :unsure:

U ovom slučaju je bilo lako jer nije bio veliki posao naći prvih [inlmath]13[/inlmath] članova. Ali da je trebalo odrediti stoti ili tako neki viši član, onda bi već moralo da se ide na uočavanje pravilnosti.
Prvih recimo šest članova niza glase: [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]\sqrt3[/inlmath], [inlmath]\sqrt7[/inlmath], [inlmath]\sqrt{15}[/inlmath], [inlmath]\sqrt{31}[/inlmath], [inlmath]\sqrt{63}[/inlmath].
Prvih šest stepena dvojke iznose: [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath], [inlmath]16[/inlmath], [inlmath]32[/inlmath], [inlmath]64[/inlmath].
Može se uočiti da članove datog niza dobijemo tako što od odgovarajućeg stepena dvojke oduzmemo [inlmath]1[/inlmath], a zatim to korenujemo. Npr. treći član niza dobijemo tako što od [inlmath]2^3[/inlmath] (tj. od [inlmath]8[/inlmath]) oduzmemo [inlmath]1[/inlmath], dobijemo [inlmath]7[/inlmath], pa onda tu sedmicu korenujemo i dobijemo [inlmath]\sqrt7[/inlmath]. Znači, [inlmath]a_3=\sqrt{2^3-1}[/inlmath]. Isto tako dobijemo i [inlmath]a_4=\sqrt{2^4-1}[/inlmath], [inlmath]a_5=\sqrt{2^5-1}[/inlmath] itd. Za [inlmath]a_n[/inlmath] će onda, po toj pravilnosti, biti [inlmath]a_n=\sqrt{2^n-1}[/inlmath].

Tinker je napisao:ali želim da budem siguran u slučaju da naiđem na slične zadatke u budućnosti. :D

Tako i treba. :thumbup: Kako bismo bili sigurni da će uočena pravilnost članova niza važiti za sve članove, najsigurnije je tu pravilnost računski izvesti. Napišemo vezu susednih članova za prvih [inlmath]n[/inlmath] članova (pri čemu [inlmath]a_{n+1}=\sqrt{2a_n^2+1}[/inlmath] možemo kvadrirati pa napisati kao [inlmath]a_{n+1}^2=2a_n^2+1[/inlmath], uz uslov da su svi članovi pozitivni):
[dispmath]a_2^2=2a_1^2+1\\
a_3^2=2a_2^2+1\\
a_4^2=2a_3^2+1\\
\vdots\\
a_{n-1}^2=2a_{n-2}^2+1\\
a_n^2=2a_{n-1}^2+1\\[/dispmath] Kako bismo pri kasnijem sabiranju ovih [inlmath]n-1[/inlmath] jednakosti skratili ove kvadrate na levim i na desnim stranama, potrebno je da svaku prethodnu jednakost pomnožimo prvim većim stepenom dvojke u odnosu na narednu. Znači, poslednju [inlmath](n-1).[/inlmath] jednakost množimo sa [inlmath]1[/inlmath], pretposlednju [inlmath](n-2).[/inlmath] množimo sa [inlmath]2[/inlmath], zatim [inlmath](n-3).[/inlmath] jednakost množimo sa [inlmath]2^2[/inlmath]... treću množimo sa [inlmath]2^{n-4}[/inlmath], drugu množimo sa [inlmath]2^{n-3}[/inlmath] i prvu množimo sa [inlmath]2^{n-2}[/inlmath]:
[dispmath]2^{n-2}a_2^2=2^{n-1}a_1^2+2^{n-2}\\
2^{n-3}a_3^2=2^{n-2}a_2^2+2^{n-3}\\
2^{n-4}a_4^2=2^{n-3}a_3^2+2^{n-4}\\
\vdots\\
2a_{n-1}^2=2^2a_{n-2}^2+2\\
a_n^2=2a_{n-1}^2+1\\[/dispmath] Sada će se prilikom sabiranja svih ovih jednakosti skratiti [inlmath]2^{n-2}a_2^2[/inlmath] na levoj i [inlmath]2^{n-2}a_2^2[/inlmath] na desnoj strani, isto tako i [inlmath]2^{n-3}a_3^2[/inlmath] na levoj i [inlmath]2^{n-3}a_3^2[/inlmath] na desnoj strani itd... sve do [inlmath]2a_{n-1}^2[/inlmath], koji se takođe skraćuju na levoj i na desnoj strani. Ostaje sledeće:
[dispmath]a_n^2=2^{n-1}a_1^2+\underbrace{1+2+\cdots+2^{n-4}+2^{n-3}+2^{n-2}}_{\text{geometrijski niz}}[/dispmath] Nakon izračunavanja sume geometrijskog niza i uvrštavanjem [inlmath]a_1=1[/inlmath] (po uslovu zadatka), dobije se [inlmath]a_n^2=2^n-1[/inlmath]. Znajući da su članovi ovog niza pozitivni, mogu se korenovati obe strane i konačno dobiti [inlmath]a_n=\sqrt{2^n-1}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7008
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3635 puta
Pohvaljen: 3819 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 27. Maj 2018, 17:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs