Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Razvijanje funkcije u stepeni red

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Razvijanje funkcije u stepeni red

Postod Gogele » Sreda, 24. Januar 2018, 12:57

Zdravo! Imam problema sa sledećim zadatkom:

Razviti u stepeni red funkciju [inlmath]f(x)=\arctan x[/inlmath].

Evo šta sam ja uspeo da uradim:

Imamo da vazi sledeći stav:

Funkcija se moze predstaviti redom [inlmath]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/inlmath] na intervalu [inlmath]I=(x_0-r,\;x_0+r)[/inlmath], [inlmath]r>0[/inlmath], akko je [inlmath]f[/inlmath] beskonačno diferencijabilna na intervalu [inlmath]I[/inlmath] i ostatak [inlmath]R_n(x)[/inlmath] u Tejlorovoj formuli [inlmath]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)[/inlmath] tezi nuli za [inlmath]\forall x\in I[/inlmath], kad [inlmath]n\longrightarrow\infty[/inlmath].

Dakle, ja sam uradio sledeće korake:

1) Odredio sam interval na kome ću predstaviti funkciju pomoću stepenog reda. U ovom slučaju očigledno treba predstaviti funkciju na celom njenom domenu, a to je [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Pošto nam treba i [inlmath]x_0[/inlmath] uzeo sam da je [inlmath]x_0=0[/inlmath].

2) Sada treba utvrditi da li je funkcija beskonačno diferencijabilna na celom [inlmath]I=\mathbb{R}[/inlmath]. Očigledno da jeste.

3) Sada treba ispitati da li je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x)=0[/inlmath], za [inlmath]\forall x\in I[/inlmath]. Kako je [inlmath]a=x_0=0[/inlmath], to se Tejlorova formula pretvara u Maklorenovu.
Sad, ja stvarno ne znam koji oblik ostatka da koristim. Znam za Šlemilh-Rošov, Lagranzov, Košijev i Peanov.
Peanov otpada, jer je funkcija beskonačno diferencijabilna.
U definiciji Maklorenove formule, navodi se da je ostatak ili Lagranzovog ili Košijevog oblika. Oni su i jedan i drugi samo pojednostavljen Šlemilh-Rošov oblik ostatka, ali ja ne vidim zašto bi ih koristili u ovom slučaju.
Koristeći, Šlemilh-Rošov oblik ostatka dobio sam da treba da nađem sledeću graničnu vrednost: [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{x}{x-\xi}\right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{p\cdot n!}f^{(n+1)}(\xi)[/inlmath]
Dakle, do ovde sam došao i dalje ne znam.

Molim vas, ako mozete da mi kazete gde grešim?

P.S. Moze se primetiti da nemam slovo na tastaturi.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Razvijanje funkcije u stepeni red

Postod Onomatopeja » Sreda, 24. Januar 2018, 20:14

Mislim da si gore pre hteo da kazes [inlmath]\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)[/inlmath]. I niko ti ne govori koji konkretno ostatak da koristis, vec mozes koristiti bilo koji za koji mozes proceniti da on (ostatak) tezi nuli. A i ne vidim zasto bi radio sa Slemilh-Rosovim ostatkom, kad postoje jednostavniji oblici (pa i sam si rekao da je to opstija verzija, al to obicno ne znaci da je i jednostavnija, vec obratno). Dakle, koristi koji god hoces ostatak, al samo nekako pokazi da on tezi nuli, to ti tvoj stav i kaze. Na primer, iz Lagranzovog oblika ostatka mozes direktno pokazati da ako vazi [inlmath]|f^{(n+1)}(x)|\le M[/inlmath] za sve [inlmath]x \in I[/inlmath] i neko [inlmath]M>0[/inlmath], da tada vazi procena [inlmath]|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1} \le \frac{M}{(n+1)!} r^{n+1}[/inlmath] (a znamo cemu ovo tezi kada [inlmath]n[/inlmath] tezi beskonacnosti). Mozes da petljas i preko tvog oblika ako bas hoces, jer znas gde [inlmath]x[/inlmath] zivi, pa napravi neke procene.

I ovde je veci problem kako razviti ovu funkciju, od opravdavanja da ona ima Tejlorov red, jer izvodi nisu toliko lepi. No to se ipak moze uraditi, ako se ne razvija ova funkcija direktno, vec neka koja ce nastati od nje, pa se sve vrati nazad. Vise detalja ako je potrebno.

Takodje, BITNO, ova konkretna funkcija nema Tejlorov razvoj na citavom prostoru realnih brojeva! Jedno je sto ona tu postoji, ali to ne garantuje da se i svuda moze predstaviti preko stepenog reda koji konvergira. Tako da se prvo treba pozabaviti sa tim pitanjem.
 
Postovi: 563
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 531 puta

Re: Razvijanje funkcije u stepeni red

Postod Gogele » Četvrtak, 25. Januar 2018, 12:26

Onomatopeja je napisao:Mislim da si gore pre hteo da kazes [inlmath]\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)[/inlmath].


Da, to sam trebao da napišem.

Pretpostavljam da treba i da eksplicitno pokažem da je data funkcija beskonačno diferencijabilna. Izračunao sam do trećeg izvoda i na internetu video da su četvri, peti i šesti još složenijeg oblika, ali ne vidim da se moze naći opšta formula za sve izvode. Čini se da se moze diferencirati beskonačno puta.

Onomatopeja je napisao:Takodje, BITNO, ova konkretna funkcija nema Tejlorov razvoj na citavom prostoru realnih brojeva! Jedno je sto ona tu postoji, ali to ne garantuje da se i svuda moze predstaviti preko stepenog reda koji konvergira. Tako da se prvo treba pozabaviti sa tim pitanjem.


Zar nisumath ispunjeni svi uslovi iz definicije da data funkcija ima Tejlorovu formulu. Neprekidna je i svi njeni izvodi do [inlmath]n[/inlmath]-tog reda zaključno, su neprekidni u proizvoljnoj okolini tačke [inlmath]a = 0[/inlmath] (pa to može biti i skup realnih brojeva). Takođe, ima i izvod [inlmath]n + 1[/inlmath]-og reda u toj okolini. Jedino, ako neki njen izvod nije neprekidan na celom skupu [inlmath]\mathrm{R}[/inlmath]. Ako je nešto drugo u pitanju, trenutno ne znam.

Onomatopeja je napisao: I niko ti ne govori koji konkretno ostatak da koristis, vec mozes koristiti bilo koji za koji mozes proceniti da on (ostatak) tezi nuli. A i ne vidim zasto bi radio sa Slemilh-Rosovim ostatkom, kad postoje jednostavniji oblici (pa i sam si rekao da je to opstija verzija, al to obicno ne znaci da je i jednostavnija, vec obratno). Dakle, koristi koji god hoces ostatak, al samo nekako pokazi da on tezi nuli, to ti tvoj stav i kaze. Na primer, iz Lagranzovog oblika ostatka mozes direktno pokazati da ako vazi [inlmath]|f^{(n+1)}(x)|\le M[/inlmath] za sve [inlmath]x \in I[/inlmath] i neko [inlmath]M>0[/inlmath], da tada vazi procena [inlmath]|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1} \le \frac{M}{(n+1)!} r^{n+1}[/inlmath] (a znamo cemu ovo tezi kada [inlmath]n[/inlmath] tezi beskonacnosti). Mozes da petljas i preko tvog oblika ako bas hoces, jer znas gde [inlmath]x[/inlmath] zivi, pa napravi neke procene.


Mislim da razumem zašto je Lagranžov oblik pogodan u ovom slučaju. Dakle, kako je po definiciji [inlmath]p \in \mathrm{N}[/inlmath], sledi da može biti proizvoljan. Ima smisla uzeti da je [inlmath]p = n + 1[/inlmath]. Kako je [inlmath]\xi[/inlmath] između [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath], a [inlmath]a = 0[/inlmath], onda imamo da se može pisati [inlmath]\xi = \theta x[/inlmath], [inlmath]0 < \theta < 1[/inlmath]. Sledi da je ostatak oblika [inlmath]R_n(x) = \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} f^{(n + 1)}(\theta x)[/inlmath].
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Razvijanje funkcije u stepeni red

Postod Gogele » Sreda, 07. Februar 2018, 23:35

Da pokušam još jednom da rešim ovaj zadatak. Evo šta piše u knjizi (u prvom postu sam naveo tvrđenje iz neke skripte, ali ono je u stvari kombinacija onoga što piše u knjizi):

Razlaganje elementarnih funkcija u stepene redove

Ako je neka realna funkcija [inlmath]f[/inlmath] definisana i beskonačno diferencijabilna u okolini tačke [inlmath]x_0[/inlmath], onda se može formirati red [inlmath]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n[/inlmath] koji ćemo zvati Tejlorovim redom funkcije [inlmath]f[/inlmath] u okolini tačke [inlmath]x_0[/inlmath]. Specijalno, za [inlmath]x_0 = 0[/inlmath] radi se o Maklorenovom redu funkcije [inlmath]f[/inlmath].

Taj red, naravno, ne mora konvergirati za sve vrednosti promenljive [inlmath]x[/inlmath] za koje je funkcija [inlmath]f[/inlmath] definisana, a čak i kada konvergira, njegova suma ne mora biti jednaka vrednosti funkcije [inlmath]f[/inlmath]. Drugim rečima, ne mora svaka beskonačno diferencijabilna funkcija biti jednaka zbiru svog Tejlorovog reda.

Za funkciju [inlmath]f[/inlmath] koja je jednaka zbiru svog Tejlorovog reda u okolini tačke [inlmath]x_0[/inlmath], ili, kako se još kaže, koja se može razviti u stepeni red u okolini tačke [inlmath]x_0[/inlmath], kaže se da je analitička u okolini tačke [inlmath]x_0[/inlmath]. Jasno je da će funkcija [inlmath]f[/inlmath] bit analitička ako, osim toa što je beskonačno diferencijabilna, važi [inlmath]\lim\limits_{n \to \infty} R_n(x)
= 0[/inlmath], gde je [inlmath]R_n(x)[/inlmath] ostatak u Tejlorovoj formuli [inlmath]f(x) = P(x, x_0) + R_n(x)[/inlmath].


Dakle, da bismo razvili datu funkciju u stepeni red, potrebno je sledeće (koliko sam shvatio):

1) Odrediti domen date funkcije. U ovom slučaju to je [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].

2) Odrediti gde je data funckija beskonačno diferencijabilna. Tako određujemo gde može biti [inlmath]x_0[/inlmath]. U ovom slučaju to je [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Data funkcija se razvija u stepeni red, samo u nekoj okolini tačke [inlmath]x_0[/inlmath]. Neka je [inlmath]x_0 = 0[/inlmath].

3) Sada treba da proverim da li dobijeni Maklorenov red [inlmath]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n[/inlmath] konvergira i za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath]. Dobijamo red čiji su članovi i pozitivni i negativni i jednaki nuli. Imamo da važi stav :

Ako red [inlmath]\sum\limits_{n = 0}^{\infty}|a_n|[/inlmath] konvergira, onda konvergira i realni red [inlmath]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n[/inlmath].

Molim vas, možete li mi reći da li je ovo ispravan postupak do sada?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Razvijanje funkcije u stepeni red

Postod Gogele » Četvrtak, 08. Februar 2018, 15:00

Gogele je napisao:3) Sada treba da proverim da li dobijeni Maklorenov red [inlmath]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n[/inlmath] konvergira i za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath].


Koliko sam shvatio, ovo se radi da bi se odredilo za koje [inlmath]x \in \mathbb{R}[/inlmath] dobijeni red je konvergentan (tada ima i zbir u tim tačkama). Ako dobijem da je konvergentan, između ostalog, i za [inlmath]x = 0[/inlmath], i ako dobijem da je [inlmath]\lim\limits_{n \to \infty} R_n(x) = 0[/inlmath], onda je ovaj Maklorenov red razvoj date funkcije u tački [inlmath]x_0 = 0[/inlmath].

U suprotnom, odabraću novu tačku [inlmath]x_0[/inlmath], od onih tačaka u kojima je dobijeni Maklorenov red konvergentan, i opet ću ispitati limes ostatka [inlmath]R_n(x)[/inlmath].

Da li je ovo kompletan postupak?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +1

Re: Razvijanje funkcije u stepeni red

Postod Trougao » Petak, 09. Februar 2018, 23:03

Jedan od nacina da resis ovaj zadatak (da razvijes [inlmath]\mathrm{arctg}\;x[/inlmath] u stepeni red) je da krenes od
[dispmath]\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots[/dispmath]
Pa da integralis obe strane:
[dispmath]\mathrm{arctg}\;x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7} + \cdots[/dispmath]
I da na taj nacin dobijes trazeni stepeni red. Pocetni red je imao poluprecnik konvergencije [inlmath]R = 1[/inlmath] pa ce i trazeni red imati isti poluprenik konvergencije. Ovde ima jedna mala napomena drugi red ce konvergirati i za [inlmath]x = 1, \; x = -1[/inlmath] to mozes da vidis iz Lajbnicovog pravila.
Opravdanje da je ovaj nacin ispravan ces naci u ravnomernoj konvergenciji stepenih redova posle cega ce slediti da se stepeni redovi mogu diferencirati clan po clan.
Jedini problem je pokazati da su leva i desna strana jednakosti jednake za [inlmath]x = 1, \; x = -1[/inlmath] ali i to moze iz Abelovog stava da se pokaze koji se takodje dokazuje uz pomoc ravnomerne konvergencije.
Da se stepeni redovi mogu diferencirati(integraliti) clan po clan i Abelov stav se takodje mogu dokazati bez ravnomerne konvergnecije ali to je racunski teza varijanta.
Drugi nacin je da nadjes koliko je [inlmath]\mathrm{arctg}^{(n)} \;0 = f^{(n)}(0)[/inlmath] i da ubacis formulu(ovo moze da se izvuce iz Lajbnicove formule za n-ti izvod proizvoda dve funkcije). Dobija se [inlmath]\mathrm{arctg}^{(n)} \;0 = (-1)^{n-1}(n-1)![/inlmath] i sada bi opet proveravao ostatak za [inlmath]x \in(-1,1)[/inlmath] i [inlmath]x = 1, \; x = -1[/inlmath].
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Razvijanje funkcije u stepeni red

Postod Trougao » Subota, 10. Februar 2018, 10:58

Da dopunim ona formula za n-ti izvod [inlmath]\mathrm{arctg}\;x[/inlmath] u nuli vazi za n neparno, a za n parno je 0.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Lucky i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 27. Maj 2018, 19:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs