Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Suma reda s dvostrukim faktorijelima

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Suma reda s dvostrukim faktorijelima

Postod Drazenko5 » Utorak, 26. Septembar 2017, 14:26

Zadatak glasi nacu sumu reda
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}[/dispmath] Nemam ideju kako poceti zadatak.
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Suma reda s dvostrukim faktorijelima

Postod Onomatopeja » Utorak, 26. Septembar 2017, 17:22

Primetimo razlaganje
[dispmath](-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{2^nn!}=\frac{(-1)(-3)\cdots(-(2n-1))}{2^nn!}=\frac{\frac{(-1)}{2}\frac{(-3)}{2}\cdots\frac{(-(2n-1))}{2}}{n!}={\alpha\choose n}.[/dispmath] Na tebi je da nadjes [inlmath]\alpha[/inlmath] (sto sada ne bi trebalo da je problem). Takodje, verujem da se podrazumeva da je za [inlmath]n=0[/inlmath] ovaj izraz pod sumom jednak jedinici.
 
Postovi: 569
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 536 puta

Re: Suma reda s dvostrukim faktorijelima

Postod techn0 » Subota, 24. Mart 2018, 14:30

Pozz
Ja i drugari a smo radili ovaj isti zadatak pomocu [inlmath]\text{arcsinh}(x)[/inlmath] funkcije. Odnosno, namjestali smo taj oblik stepenog reda. U konacnici dobijemo
[dispmath]F(x)=-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/dispmath] Nismo sigurni da li je to rjesenje, jer za [inlmath]x=1[/inlmath] dobijamo [inlmath]\approx0.71[/inlmath] a wolfram izbacuje drugu vrijednost.
techn0  OFFLINE
 
Postovi: 34
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Suma reda s dvostrukim faktorijelima

Postod techn0 » Ponedeljak, 26. Mart 2018, 18:51

Evo i drugog nacina :) Oslanjajuci se na sljedeci tablicni red:
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}x^{2n+1}=\text{arcsinh}(x)[/dispmath] Posmatrajmo red:
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}[/dispmath] Recimo da je suma tog reda [inlmath]S(x)[/inlmath]
Lako je vidjeti da je prvi clan u ovom redu [inlmath]1[/inlmath], pa ako oduzmemo i dodamo jedan mozemo smanjiti indeks posmatranog reda za jedan.
Sada je
[dispmath]S(x)=-1+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}[/dispmath] Ovaj dobijeni red proglasimo drugom sumom, tj. funkcijom.
Obzirom da je [inlmath]\text{arcsinh}[/inlmath] neprekidna funkcija i da je red na intervalu od [inlmath]-1,1[/inlmath] uniformno konvergentan.
Mozemo ga integraliti, pa vazi sljedece:
[dispmath]S(x)=-1+S_1(x)[/dispmath][dispmath]\int S_1(x)=\int\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}[/dispmath][dispmath]\int S_1(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}x^{2n+1}[/dispmath] Sa desne strane smo dobili tablicni oblik [inlmath]\text{arscinh}(x)[/inlmath].
[dispmath]\int S_1(x)=\text{arcsinh}(x)[/dispmath] Diferencirano jer nam treba [inlmath]S_1(x)[/inlmath].
[dispmath]S_1(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/dispmath] Kada se vratimo u gornju smjenu:
[dispmath]S(x)=-1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/dispmath] A suma naseg numerickog reda je prakticno suma naseg dobijenog reda za [inlmath]x=1[/inlmath] odnosno [inlmath]x=-1[/inlmath] zbog kvadrata i prirode dobijenog rjesenja.
Pa je konacna suma:
[dispmath]S(x)=-1+\frac{1}{\sqrt2}[/dispmath]
techn0  OFFLINE
 
Postovi: 34
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 7 puta

Re: Suma reda s dvostrukim faktorijelima

Postod Daniel » Ponedeljak, 26. Mart 2018, 20:45

Svaka čast za ideju s [inlmath]\text{arcsinh}[/inlmath]-om. :thumbup: Samo, prevideo si da zadati red ide od [inlmath]n=0[/inlmath], tako da nije trebalo da oduzimaš jedinicu, već treba da računaš i taj nulti član koji iznosi [inlmath]1[/inlmath]. Dakle, rešenje je [inlmath]\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath] (ili, racionalisano, [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]).
To jest, dobro je ono rešenje koje si prvobitno bio dobio (pretprošli post).

Drugi način s [inlmath]\text{arcsinh}[/inlmath]-om bio bi preko diferenciranja:
[dispmath]\text{arcsinh}(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}x^{2n+1}[/dispmath][dispmath]\bigl(\text{arcsinh}(x)\bigr)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}[/dispmath] i uvrštavanjem [inlmath]x=1[/inlmath] (ili [inlmath]x=-1[/inlmath]) dobije se
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{1}{\sqrt2}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7197
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3735 puta
Pohvaljen: 3916 puta

Re: Suma reda s dvostrukim faktorijelima

Postod techn0 » Ponedeljak, 26. Mart 2018, 21:17

Hvala :aureola: :thumb-up:

Moja greska, na ispitu koji sam ja radio cini mi se da je isao od [inlmath]1[/inlmath]. Iskreno meni je lakse preko ove funkcije nego preko faktorijela.
Naravno da bi bio malo problem sjetiti se ovih hiperbolickih funkcija :D Ali veoma lako se pamte ako znas osnovne razvoje funkcija.
techn0  OFFLINE
 
Postovi: 34
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Suma reda s dvostrukim faktorijelima

Postod Corba248 » Ponedeljak, 26. Mart 2018, 21:25

Svaka čast i od mene za ovo rešenje. :)
Ja bih samo radi izbegavanja konfuzije među formalnima dodao da je inverzna funkcija funkcije [inlmath]\sinh x[/inlmath] ili skraćeno [inlmath]\text{sh }x[/inlmath] (pa analogno i za kosinus hiperbolički itd) [inlmath]\text{arsinh }x[/inlmath] (dakle, bez slova c), "area sinus hiperbolički" i da je formalno govoreći ispravnije pisati bez slova c, ali zbog veze sa trigonometrijskim funkcijama često se može videti i [inlmath]\text{arcsinh }x[/inlmath].
Naglašavam ovo jer sam i ja kada sam se prvi put susretao sa ovim funkcijama upravo ovo pitao zbog nedoslednosti u literaturama.
Moderator
 
Postovi: 256
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 287 puta

Re: Suma reda s dvostrukim faktorijelima

Postod techn0 » Utorak, 27. Mart 2018, 10:59

Hvala :)
Ja ipak vise volim ovu duzu notaciju. Nekako sa tom kracom se lakse zbunim..
techn0  OFFLINE
 
Postovi: 34
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 7 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 18. Jul 2018, 00:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs