Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Ispitivanje konvergencije reda

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Ispitivanje konvergencije reda

Postod Igor » Četvrtak, 09. Avgust 2018, 14:59

Zadatak: Neka je data funkcija [inlmath]f(x) = - \frac{1}{|x|} + \arctan{\frac{2x}{x^2 - 1}}[/inlmath]. Odrediti funkciju [inlmath]F(x) = \int\limits_1^x {f(t)}\mathrm dt[/inlmath], za [inlmath]x > 1[/inlmath]. Zatim ispitati konvergenciju reda [inlmath]\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^p(F(n + 1) - F(n))^q[/inlmath], u zavisnosti od realnih parametara [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath].

Traženu funkciju sam odredio. Ja dobijam [inlmath]F(x) = \ln{\frac{x^2 + 1}{2x} + x\cdot\arctan{\frac{2x}{x^2 - 1}} - \frac{\pi}{2}}[/inlmath]. Ako neko može da proveri da li je tačno, značilo bi mi. A što se tiče drugog dela zadatka, tu mi je potrebna pomoć, ukoliko sam tačno izračunao funkciju [inlmath]F[/inlmath].
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitivanje konvergencije reda

Postod Igor » Petak, 10. Avgust 2018, 17:59

Proverio sam račun, tačno je da je [inlmath]F(x) = \ln{\frac{x^2 + 1}{2x} + x\cdot\arctan{\frac{2x}{x^2 - 1}} - \frac{\pi}{2}}[/inlmath].
Kada se to "ubaci" u izraz za red, dobija se (posle sređivanja): [dispmath]\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^p(\ln{\frac{n^2(n+2)}{(n-1)(n+1)^2 }} + \arctan{\frac{2(n+1)}{n(n+2)}} - \arctan{\frac{2n}{n^2+1}})^q[/dispmath]Za dalje nemam ideju. Pokušao sam da posmatram ovaj red kao proizvod dva reda, da bih u nekom trenutku primenio Abelov kriterijum. Tada red [inlmath]\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^p[/inlmath] za [inlmath]p<-1[/inlmath] konvergira, a za [inlmath]p\ge-1[/inlmath] divergira. Ali nisam uspeo ovo da izvedem do kraja. Dalje bi, za [inlmath]p<-1[/inlmath], trebalo pokazati za koje [inlmath]q[/inlmath] je niz [inlmath]a_n = (\ln{\frac{n^2(n+2)}{(n-1)(n+1)^2 }} + \arctan{\frac{2(n+1)}{n(n+2)}} - \arctan{\frac{2n}{n^2+1}})^q[/inlmath] monoton i ograničen...
Možda je neki drugi način bolji :unsure:
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta

Re: Ispitivanje konvergencije reda

Postod Onomatopeja » Petak, 10. Avgust 2018, 19:11

Ne, to nije najbolji nacin.

Umesto toga, dovoljno je primetiti da se izraz u zagradi (ako si ga dobro izracunao, nisam proveravao) ponasa kao [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath], odakle nam poredbeni kriterijum brzo daje resenje.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Ispitivanje konvergencije reda

Postod Igor » Petak, 10. Avgust 2018, 20:38

Da bih pokazao da se izraz [inlmath]\ln{\frac{n^2(n+2)}{(n-1)(n+1)^2 }} + \arctan{\frac{2(n+1)}{n(n+2)}} - \arctan{\frac{2n}{n^2+1}}[/inlmath] ponaša kao [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] treba da pokažem da važi:[dispmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln{\frac{n^2(n+2)}{(n-1)(n+1)^2 }} + \arctan{\frac{2(n+1)}{n(n+2)}} - \arctan{\frac{2n}{n^2+1}}}{\frac{1}{n}} = 1[/dispmath]Naime, ne znam kako drugačije da ovo "primetim", jer mi ovaj limes izgleda komplikovano :think1:
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta

Re: Ispitivanje konvergencije reda

Postod Onomatopeja » Subota, 11. Avgust 2018, 10:25

Do izraza [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] dolazi se iz asimptotskog razvoja izraza pod zagradom. Tako se radi. U ovom slucaju to jeste ekvivaletno sa tim da je taj limes jedan, ali to ne mozes unapred znati (da ce bas ponasati kao [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath]), vec se razvija i vidi se kako se ponasa.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

  • +1

Re: Ispitivanje konvergencije reda

Postod Daniel » Subota, 11. Avgust 2018, 23:21

Inače, @Igore, moj rezultat se ne poklapa s tvojim. Za [inlmath]F(x)[/inlmath] dobijem isto što i ti, ali nakon toga dobijem
[dispmath]F(n+1)-F(n)=\ln\frac{n\left(n^2+2n+2\right)}{(n+1)\left(n^2+1\right)}+(n+1)\text{ arctg }\frac{2(n+1)}{n(n+2)}-n\text{ arctg }\frac{2n}{n^2-1}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7306
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 17. Oktobar 2018, 13:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs