Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Gotovo monoton niz

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Gotovo monoton niz

Postod Boba R. » Ponedeljak, 05. Novembar 2018, 21:13

Kao posljedica principa monotonije u knjizi je navedeno da je svaki gotovo monoton i ograničen niz konvergentan.
Može li neko da mi pojasni šta je gotovo monoton niz?
Boba R.  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Gotovo monoton niz

Postod Corba248 » Ponedeljak, 05. Novembar 2018, 22:45

Ja moram priznati da ne znam šta to znači, ali znam navedenu teoremu. Ona glasi: ako je niz monoton i ograničen onda je on konvergentan. Pri čemu je niz monoton ako za svako [inlmath]n\in \mathbb{N}[/inlmath] važi [inlmath]a_{n+1}\ge a_n[/inlmath] ili [inlmath]a_{n+1}\le a_n[/inlmath] (da ne ulazimo sada u to kad je rastući, opadajući, nerastući, strogo rastući itd. što nije ključno za ovu teoremu), a ograničen je onaj niz za koji postoje [inlmath]M,m\in \mathbb{R}[/inlmath] takvo da za svako [inlmath]n\in \mathbb{N}[/inlmath] važi [inlmath]m\le a_n\le M[/inlmath].
Dokaz nije komplikovan pa ću ga navesti.
Uzmimo monoton niz [inlmath](a_n)[/inlmath] takav da je [inlmath]a_1\le a_2\le \ldots \le a_n\le M[/inlmath] odnosno rastući (ili neopadajući, kako ko voli da kaže) niz [inlmath](a_n)[/inlmath] takav da [inlmath]\left ( \exists M\in \mathbb{R}\right )\left (\forall n\in \mathbb{N}\right ) a_n\le M[/inlmath]. Označimo [inlmath]\sup a_n=C[/inlmath]. Tada, po definiciji supremuma, važi [inlmath]\left (\forall n\in\mathbb{N}\right ) a_n\le C[/inlmath] i [inlmath]\left (\forall \varepsilon >0 \right)\left ( \exists n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}\right ) a_{n_0}>C-\varepsilon[/inlmath], pa važi:[dispmath]\left (\forall \varepsilon >0 \right)\left ( \forall n>n_0\right ) C-\varepsilon<a_n<C+\varepsilon[/dispmath] tj. [inlmath]\lim a_n=C[/inlmath]. Analogno se radi i drugi slučaj sa tim što je [inlmath]\lim a_n=\inf a_n[/inlmath].
Moderator
 
Postovi: 287
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 314 puta

  • +1

Re: Gotovo monoton niz

Postod Daniel » Utorak, 06. Novembar 2018, 15:17

Pozitivan niz [inlmath]b_n[/inlmath] je gotovo rastući akko postoji strogo rastući niz [inlmath]a_n[/inlmath] i pozitivne konstante [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] takvi da za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] važi [inlmath]Aa_n\le b_n\le Ba_n[/inlmath].

Jedan primer, predstavljen grafički, izgledao bi ovako:

gotovo monoton niz.png
gotovo monoton niz.png (2.52 KiB) Pogledano 38 puta

Vidimo da niz [inlmath]b_n[/inlmath] nije monotono rastući, ali jeste gotovo monotono rastući jer se nalazi unutar oblasti (na slici obeležene žuto) čija su i gornja i donja granica strogo rastući nizovi (umnošci strogo rastućeg niza [inlmath]a_n[/inlmath]). Drugim rečima, niz [inlmath]b_n[/inlmath] se nalazi u „sendviču“ između dve monotono rastuće granice opsega.

Dakle, svaki monotono rastući niz jeste i gotovo monotono rastući, ali obrnuto ne važi.

Možemo uočiti i to, da je neophodno da [inlmath]a_n[/inlmath] bude strogo rastući niz. U slučaju da je [inlmath]a_n[/inlmath] neopadajući, imali bismo kontraprimer: [inlmath]a_n=1[/inlmath], [inlmath]A=1[/inlmath], [inlmath]B=3[/inlmath], [inlmath]b_n=2+\sin x[/inlmath], tj. [inlmath]b_n[/inlmath] ne bi bio konvergentan iako bi ispunjavao sve uslove.

Analogna priča važi i za gotovo monotono opadajući niz.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7321
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3804 puta
Pohvaljen: 3957 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 13. Novembar 2018, 01:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs