Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Odrediti drugi clan niza

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Odrediti drugi clan niza

Postod Andrija_Lukic » Ponedeljak, 11. Maj 2020, 12:31

Zbir svih clanova opadajuceg geometrijskog niza je [inlmath]1,5[/inlmath] a zbir njihovih kvadrata je [inlmath]0,125[/inlmath]. Drugi clan datog niza je?

Ovaj zadatak sam dobio kao jedan od zadataka za pripremu za prijemni pa nemam resenje ali je najverovatnije sa nekog prijemnog ispita.
Pokusao sam da ispisem formule za zbir geometrijskog niza i da ih podelim ili da iz jedne izrazim nesto sto ce mi biti korisno u drugoj ali nesto mi fali jer nikako ne mogu da odredim nijednu nepoznatu.
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odrediti drugi clan niza

Postod primus » Ponedeljak, 11. Maj 2020, 17:41

Potrebno je rešiti sledeći sistem jednačina:
[dispmath]\begin{cases}
\frac{a_1}{1-q}=1,5\\
\frac{a_1^2}{1-q^2}=0,125
\end{cases}[/dispmath] Ako se iz prve jednačine izrazi [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]q[/inlmath] i tako izraženo [inlmath]a_1[/inlmath] uvrsti u drugu jednačinu posle sređivanja dobija se kvadratna jednačina: [inlmath]2,375q^2-4,5q+2,125=0[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]q_1=\frac{17}{19}[/inlmath] i [inlmath]q_2=1[/inlmath]. Kako je niz opadajući rešenje [inlmath]q_2[/inlmath] otpada. Dalje bi trebalo da bude lako :)
Ako ljudi ne veruju da je matematika jednostavna, to je samo zato što ne shvataju koliko je život komplikovan. - Džon fon Nojman
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 70 puta

Re: Odrediti drugi clan niza

Postod Andrija_Lukic » Ponedeljak, 11. Maj 2020, 18:11

hvala ti puno ja sam pogresio jer sam koristi formulu za konacan niz totalno sam zaboravio na tu drugu formulu
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Odrediti drugi clan niza

Postod Frank » Ponedeljak, 11. Maj 2020, 20:36

Meni nije najjasniji primusov postupak. Ako se ne varam on je koristio formulu za sumu beskonačne geometrijske progresije, ali iz teksta zadatka se ne može zaključiti da je u pitanju ovakav niz.
Ako je količnik [inlmath]q=1[/inlmath] onda je niz monoton, a ako je [inlmath]q=\frac{19}{17}[/inlmath] niz je rastući ([inlmath]q>1)[/inlmath], pa ni jedan od ova dva ne ispunjava uslov iz teksta zadatka (niz je opadajući).
Po mom mišljenju u tekstu zadatka se misli na sumu svih posmatranih članova nekog niza.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 218
Zahvalio se: 119 puta
Pohvaljen: 97 puta

  • +1

Re: Odrediti drugi clan niza

Postod Frank » Ponedeljak, 11. Maj 2020, 21:30

Permutovao sam brojilac i imenilac kod [inlmath]q=\frac{17}{19}[/inlmath]. Izvinjavam se! Ali opet mi nije jasno zasto niz iz teksta zadatka posmatramo kao beskonacnu progresiju?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 218
Zahvalio se: 119 puta
Pohvaljen: 97 puta

Re: Odrediti drugi clan niza

Postod primus » Utorak, 12. Maj 2020, 08:38

Frank je napisao:Ali opet mi nije jasno zasto niz iz teksta zadatka posmatramo kao beskonacnu progresiju?

U slučaju da se radi o konačnom geometrijskom nizu imali bismo dve jednačine sa tri nepoznate, stoga sam pretpostavio da je u pitanju beskonačan niz.
Ako ljudi ne veruju da je matematika jednostavna, to je samo zato što ne shvataju koliko je život komplikovan. - Džon fon Nojman
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 70 puta

Re: Odrediti drugi clan niza

Postod Daniel » Utorak, 12. Maj 2020, 11:40

primus je napisao:[dispmath]\begin{cases}
\frac{a_1}{1-q}=1,5\\
\frac{a_1^2}{1-q^2}=0,125
\end{cases}[/dispmath] Ako se iz prve jednačine izrazi [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]q[/inlmath] i tako izraženo [inlmath]a_1[/inlmath] uvrsti u drugu jednačinu posle sređivanja dobija se kvadratna jednačina: [inlmath]2,375q^2-4,5q+2,125=0[/inlmath],

Mislim da može i jednostavnije, ako se druga jednačina podeli prvom, čime se dobije [inlmath]\frac{a_1}{1+q}=\frac{1}{12}[/inlmath] (preporučujem da se [inlmath]1,5[/inlmath] i [inlmath]0,125[/inlmath] u startu napišu kao razlomci [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{8}[/inlmath], lakše je), a zatim se prva jednačina podeli ovom novom jednačinom i dobije se [inlmath]\frac{1+q}{1-q}=18[/inlmath], što se svodi na linearnu (i ne pojavljuje se ono rešenje [inlmath]q=1[/inlmath]).

primus je napisao:čija su rešenja [inlmath]q_1=\frac{17}{19}[/inlmath] i [inlmath]q_2=1[/inlmath]. Kako je niz opadajući rešenje [inlmath]q_2[/inlmath] otpada.

[inlmath]q_2[/inlmath] otpada ne samo zbog toga što je niz opadajući, već i zbog uslova nenultog imenioca u jednačinama, koji smo morali postaviti prilikom množenja obe strane tim imeniocima. Ali, čak i ako radimo na taj način, ne moramo doći do kvadratne, ako uočimo šta se može faktorisati i skratiti (uz već pomenut uslov [inlmath]q\ne1[/inlmath], koji je očigledno ispunjen):
[dispmath]\frac{\left(\frac{3}{2}(1-q)\right)^2}{1-q^2}=\frac{1}{8}\\
\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2(1-q)^\cancel2}{\cancel{(1-q)}(1+q)}=\frac{1}{8}\\
\vdots[/dispmath] ...i imamo linearnu.

primus je napisao:
Frank je napisao:Ali opet mi nije jasno zasto niz iz teksta zadatka posmatramo kao beskonacnu progresiju?

U slučaju da se radi o konačnom geometrijskom nizu imali bismo dve jednačine sa tri nepoznate, stoga sam pretpostavio da je u pitanju beskonačan niz.

Upravo zbog ovakvih situacija i insistiramo na preciznom i kompletnom tekstu zadatka.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8133
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4258 puta
Pohvaljen: 4327 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 25. Maj 2020, 03:03 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs