Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Matematička indukcija – dokazivanje nejednakosti

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Matematička indukcija – dokazivanje nejednakosti

Postod Srdjan01 » Četvrtak, 30. Jul 2020, 20:39

Pozdrav, potrebna mi je pomoć oko jednog zadatka u kojem je potrebno upotrijebiti matematičku indukciju.
Zadatak glasi: Neka je [inlmath]x[/inlmath] pozitivan, a [inlmath]y[/inlmath] negativan realan broj takav da je [inlmath]x+y>0[/inlmath]. Dokazati da za sve prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath] veće od [inlmath]1[/inlmath] vrijedi:
[dispmath]x^n+(-1)^{n+2019}y^n>n(x+y)(-1)^{n+2019}y^{n-1}[/dispmath] E sada ja sam krenuo ovako:
  1. Dokazivanje za [inlmath]n=2[/inlmath]
    [dispmath]x^2+(-1)^{2+2019}y^2>2(x+y)(-1)^{2+2019}y^{2-1}\\
    x^2+(-1)^{2021}y^2>2(x+y)(-1)^{2021}y\\
    \enclose{box}{x^2-y^2>-2xy-2y^2}[/dispmath] E sada pošto u uslovu zadatka piše da su [inlmath]x>0\;\land\;y<0\;\land\;x+y>0[/inlmath]. Uzimam kao primjer određene vrijednosti [inlmath]x=5\;\land\;y=-3[/inlmath].
    [dispmath]5^2-(-3)^2>-2\cdot5\cdot(-3)-2(-3)^2\\
    \enclose{box}{16>12}[/dispmath] Tvrdnja je zadovoljena.
  2. Pretpostavka [inlmath]n=k[/inlmath]
    [dispmath]x^k+(-1)^{k+2019}y^k>k(x+y)(-1)^{k+2019}y^{k-1}[/dispmath]
  3. Dodavanje [inlmath]n=k+1[/inlmath]
    [dispmath]x^k+(-1)^{k+2019}y^k+x^{k+1}+(-1)^{k+1+2019}y^{k+1}>(k+1)(x+y)(-1)^{k+2020}y^k\\
    k(x+y)(-1)^{k+2019}y^{k-1}+x^{k+1}+(-1)^{k+2020}y^{k+1}>(k+1)(x+y)(-1)^{k+2020}y^k[/dispmath] E sada u ovom dijelu ne znam šta dalje. Ja sam u nadi da će mi to pomoći, kako bih dokazao nejednakost, uvrstio umjesto [inlmath]x,y,k[/inlmath] određene vrijednosti, i nejednakost bude zadovoljena, ali vjerovatno postoji "pravi" način kako se dolazi do rješenja. Unaprijed Hvala! :D
 
Postovi: 50
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 22 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Matematička indukcija – dokazivanje nejednakosti

Postod primus » Petak, 31. Jul 2020, 09:49

Srdjan01 je napisao:
  1. Dokazivanje za [inlmath]n=2[/inlmath]
    [dispmath]x^2+(-1)^{2+2019}y^2>2(x+y)(-1)^{2+2019}y^{2-1}\\
    x^2+(-1)^{2021}y^2>2(x+y)(-1)^{2021}y\\
    \enclose{box}{x^2-y^2>-2xy-2y^2}[/dispmath] E sada pošto u uslovu zadatka piše da su [inlmath]x>0\;\land\;y<0\;\land\;x+y>0[/inlmath]. Uzimam kao primjer određene vrijednosti [inlmath]x=5\;\land\;y=-3[/inlmath].
    [dispmath]5^2-(-3)^2>-2\cdot5\cdot(-3)-2(-3)^2\\
    \enclose{box}{16>12}[/dispmath] Tvrdnja je zadovoljena.

Za bazu indukcije imamo:
[dispmath]x^2-y^2>-2(x+y)y[/dispmath][dispmath](x-y)\cancel{(x+y)}>-2\cancel{(x+y)}y[/dispmath][dispmath]x-y>-2y[/dispmath][dispmath]x+y>0[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 99
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 113 puta

Re: Matematička indukcija – dokazivanje nejednakosti

Postod Daniel » Nedelja, 02. Avgust 2020, 17:49

Srdjan01 je napisao:Uzimam kao primjer određene vrijednosti [inlmath]x=5\;\land\;y=-3[/inlmath].
[dispmath]5^2-(-3)^2>-2\cdot5\cdot(-3)-2(-3)^2\\
\enclose{box}{16>12}[/dispmath] Tvrdnja je zadovoljena.

Tvrdnja je time dokazana za te dve određene vrednosti, ali ne i za opšti slučaj. Tvrdnje koje se odnose na opšte brojeve ne možeš dokazivati uvrštavanjem konkretnih vrednosti. Posmatraj, na primer, tvrdnju [inlmath]x^2>x[/inlmath], za koju je potrebno proveriti da li važi za svako realno [inlmath]x[/inlmath]. Uvrštavanjem npr. [inlmath]x=3[/inlmath], ako bi upotrebio prethodni rezon, mogao bi doći do pogrešnog zaključka da tvrdnja jeste uvek zadovoljena. Međutim, ona neće biti zadovoljena kada [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath].
primus ti je pokazao kako se dokazuje baza indukcije.

Pre nego što pređemo na dokazivanje indukcijom, možemo poprilično pojednostaviti zadatu nejednakost, ako uvedemo smenu [inlmath]-y=t[/inlmath] (iliti [inlmath]|y|=t[/inlmath]). Tada se (nakon malo sređivanja) nejednakost koju treba dokazati svodi na
[dispmath]x^n-t^n>n(x-t)t^{n-1}[/dispmath] pri čemu važi [inlmath]x,t>0[/inlmath] i [inlmath]x-t>0[/inlmath].
Leva strana se još može rastaviti prema formuli za razliku [inlmath]n[/inlmath]-tih stepena (navedena je u ovoj temi):
[dispmath]\cancel{(x-t)}\left(x^{n-1}+x^{n-2}t+x^{n-3}t^2+\cdots+x^2t^{n-3}+xt^{n-2}+t^{n-1}\right)>n\cancel{(x-t)}t^{n-1}[/dispmath] Faktore [inlmath](x-t)[/inlmath] smeli smo skratiti bez narušavanja smera nejednakosti, zbog uslova da je [inlmath]x-t>0[/inlmath].

Preostalo je indukcijom dokazati nejednakost [inlmath]x^{n-1}+x^{n-2}t+x^{n-3}t^2+\cdots+x^2t^{n-3}+xt^{n-2}+t^{n-1}>nt^{n-1}[/inlmath].
Baza se dokazuje vrlo slično kao i u onom „sirovom“ obliku nejednakosti, a indukcijska pretpostavka će glasiti
[dispmath]x^{k-1}+x^{k-2}t+x^{k-3}t^2+\cdots+x^2t^{k-3}+xt^{k-2}+t^{k-1}>kt^{k-1}[/dispmath] dok će indukcijski korak biti
[dispmath]x^k+x^{k-1}t+x^{k-2}t^2+\cdots+x^2t^{k-2}+xt^{k-1}+t^k>(k+1)t^k[/dispmath] Levu stranu napišemo kao [inlmath]x^k+t\left(x^{k-1}+x^{k-2}t+\cdots+x^2t^{k-3}+xt^{k-2}+t^{k-1}\right)[/inlmath] pri čemu je izraz unutar zagrade, prema indukcijskoj pretpostavici, veći od [inlmath]kt^{k-1}[/inlmath]. Dalje nije teško, možeš pokušati sam, biće još potrebno iskoristiti činjenicu da je [inlmath]x>t[/inlmath] (što je zapravo uslov [inlmath]x-t>0[/inlmath], samo drugačije napisan).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8343
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4438 puta
Pohvaljen: 4438 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 05. Avgust 2020, 14:50 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs