Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Aritmetički/geometrijski niz – Fonova zbirka

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Aritmetički/geometrijski niz – Fonova zbirka

Postod Acim » Nedelja, 10. Januar 2021, 12:40

Pozdrav,
Zadatak glasi;
Cifre trocifrenog broja su uzastopni članovi geometrijske progresije. Ako se od tog broja oduzme broj [inlmath]792[/inlmath], dobija se broj koji ima iste cifre, ali u obrnutom poretku. Ako se prva cifra datog broja umanji za [inlmath]4[/inlmath], dobija se broj čije su cifre uzastopni članovi aritmetičke progresije. Odrediti taj broj.

Izabrao sam baš ovaj primer, iz razloga što mi nije najjasnija metoda koju smo radili u školi (za kombinaciju aritmetičkog/geometrijskog niza), ali prvo da dođem do nje;

Označimo trocifreni broj sa [inlmath]abc[/inlmath] (naravno [inlmath]abc[/inlmath] ne predstavlja proizvod), gde [inlmath]a[/inlmath] predstavlja broj stotina, [inlmath]b[/inlmath] broj desetica i [inlmath]c[/inlmath] broj jedinica.
Prema uslovu zadatka, imamo sledeće;
[dispmath]abc-792=cba[/dispmath] Iz čega sledi;
[dispmath]100a+10b+c-792=100c+10b+a[/dispmath] Kad se izraz sredi, dobijamo prvu jednačinu;
[dispmath]a-c=8[/dispmath]
E sad, dolazimo do glavnog dela. Rečeno je da su cifre trocifrenog broja [inlmath]3[/inlmath] uzastopna člana geometrijske progresije, a ukoliko se prva cifra umanji za [inlmath]4[/inlmath] dobijaju se cifre koje su uzastopni članovi aritmetičke progresije, pa to možemo zapisati na sledeći način;
A.N.; [inlmath]a,\:\:b,\:\:c[/inlmath]
G.N. [inlmath]a-4,\:\:b,\:\:c[/inlmath]
Profesor nam je govorio da koristimo geometrijsku/aritmetičku sredinu i da ako idemo na geometrijsku progresiju da idemo na [inlmath]d[/inlmath], a ako koristimo aritmetičku progresiju da idemo na [inlmath]q[/inlmath]
Ako bismo pokušali preko geometrijske sredine, dobili bismo sledeće;
[dispmath]b=\sqrt{a\cdot c}[/dispmath] Međutim, kako treba da idemo na [inlmath]d[/inlmath] (pošto koristimo geometrijsku sredinu) videćemo da to nije izvodljivo, jer u aritmetičkoj progresiji nemamo koliko je samo [inlmath]a[/inlmath] nego imamo izraz ([inlmath]a-4[/inlmath])
Preostaje nam da koristimo aritmetičku sredinu i da idemo na [inlmath]q[/inlmath];
[dispmath]b=\frac{a-4+c}{2}[/dispmath] Kako je [inlmath]b[/inlmath] u geometrijskoj progresiji [inlmath]aq[/inlmath] i kako je [inlmath]c[/inlmath] u g.p. [inlmath]aq^2[/inlmath], dobijamo sledeće;
[dispmath]aq=\frac{a-4+aq^2}{2}[/dispmath] Kada se ovaj izraz sredi, dobijamo [inlmath]a\left(q-1\right)^2=4[/inlmath]

Kako idemo na [inlmath]q[/inlmath], treba i prvu jednačinu ([inlmath]a-c=8[/inlmath]) prevesti u taj oblik i sada imamo sistem;
[inlmath]a\left(1-q^2\right)=8\\
a\left(q-1\right)^2=4[/inlmath]

Iz ovoga izrazimo koliko je samo [inlmath]a[/inlmath] i kad se sistem reši dobija se da je [inlmath]q=\frac{1}{3}[/inlmath], a da je [inlmath]a=9[/inlmath]. Sad nam je lako da dobijemo koliko je [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].
[inlmath]a=9[/inlmath], [inlmath]b=3[/inlmath], [inlmath]c=1[/inlmath] pa je traženi broj [inlmath]931[/inlmath].
E sad, kod ove metode me je bunilo baš kod ovog primera što smo mi izrazili koliko je [inlmath]q[/inlmath] i koliko je [inlmath]a[/inlmath] u geometrijskoj progresiji, ali kako onda da dobijemo [inlmath]d[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath] u aritmetičkoj progresiji (mada je ovde [inlmath]a[/inlmath] bilo lako dobiti, ali nisam siguran kako naći ostale članove).
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 56
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Aritmetički/geometrijski niz – Fonova zbirka

Postod miletrans » Nedelja, 10. Januar 2021, 14:58

Mislim da je ovo čak lakše raditi preko aritmetičkog niza. Ono što si ti nazvao "prva jednačina" zapišeš kao:
[dispmath]a-(a-4+2d)=8[/dispmath] Jasno je kako smo ovo dobili, odavde odmah dobijamo [inlmath]d[/inlmath].

Sada na isti način zapisujemo izraz za [inlmath]b[/inlmath] kao geometrijsku sredinu [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]:
[dispmath]a-4+d=\sqrt{a\cdot(a-4+2d)}[/dispmath] I odavde odmah dobijamo [inlmath]a[/inlmath].

Inače, čim si dobio jednačinu [inlmath]a-c=8[/inlmath], odmah je jasno da je [inlmath]a=9[/inlmath] i [inlmath]c=1[/inlmath]. Oba broja moraju da budu nenegativna i jednocifrena, a nijedan od njih ne sme da bude nula. Onda nije nikakav problem naći [inlmath]d[/inlmath] ili [inlmath]q[/inlmath]. Ovaj pojednostavljeni pristup može da "prođe" u ovom zadatku i još ponegde gde su zgodno nameštene vrednosti. Svakako bih preporučio svakome da razume kako se zadatak rešava korak po korak (bilo preko aritmetičkog, bilo preko geometrijskog niza).
Globalni moderator
 
Postovi: 439
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 514 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Januar 2021, 15:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs