od Milovan » Četvrtak, 19. Jun 2014, 20:18
Tačka nagomilavanja nekog niza je, najprostije rečeno, tačka u čijoj proizvoljnoj okolini imaš beskonačno mnogo članova tog niza.
Glavni cilj je, dakle, da nekom logikom pronađeš one brojeve oko kojih se članovi niza [inlmath]a_n[/inlmath] nagomilavaju. Klasičan primer je niz [inlmath]b_n=(-1)^n[/inlmath]. Članovi ovog niza se nagomilavaju oko [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].
Ovaj obrazac je složeniji, ali se može pojednostaviti. Prvi član zbira je [inlmath]\frac{\ln n}{n^3}\cos\frac{n\pi}{3}[/inlmath]. Kosinus ima samo konačne vrednosti u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath]. Članovi niza [inlmath]g_n=\frac{\ln n}{n^3}[/inlmath] se nagomilavaju samo oko nule (i [inlmath]\ln n[/inlmath] i [inlmath]n^3[/inlmath] rastu kako raste [inlmath]n[/inlmath], ali kako [inlmath]n^3[/inlmath] raste brže, članovi se polako gomilaju oko nule). Proizvod te nule i konačne vrednosti kosinusa daje vrednost nula, i otuda prvi sabirak ([inlmath]\frac{\ln n}{n^3}\cos\frac{n\pi}{3}[/inlmath]) ima samo jednu tačku nagomilavanja- nulu, koja prema tome ništa ne menja oko tačaka nagomilavanja polaznog niza, pa je dovoljno da ispitamo koje su tačke nagomilavanja niza:
[dispmath]b_n=\left(-1\right)^n\frac{3n^2}{6n^2+n-2}\sin\frac{n\pi}{2}[/dispmath]
Za [inlmath]n=4k[/inlmath] dobijaš da je:
[dispmath]b_{4k}=\frac{48k^2}{96k^2+4k-2}\sin 2k\pi=0[/dispmath]
Dakle, nula je tačka nagomilavanja ovog niza.
Za [inlmath]n=4k+1[/inlmath] dobijaš da je:
[dispmath]b_{4k+1}=-\frac{3(4k+1)^2}{6(4k+1)^2+4k+1-2}\sin\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)=-\frac{3(4k+1)^2}{6(4k+1)^2+4k+1-2}[/dispmath]
Otuda je još jedna tačka nagomilavanja ovog niza [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] ([inlmath]\lim\limits_{k\to\infty}-\frac{3(4k+1)^2}{6(4k+1)^2+4k+1-2}=-\frac 12[/inlmath])
Za [inlmath]n=4k+2[/inlmath] je:
[dispmath]b_{4k+2}=\frac{3(4k+2)^2}{6(4k+2)^2+4k+2-2}\sin\left(\pi+2k\pi\right)=0[/dispmath]
Za [inlmath]n=4k+3[/inlmath] je:
[dispmath]b_{4k+3}=-\frac{3(4k+3)^2}{6(4k+2)^2+4k+3-2}\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)=\frac{3(4k+3)^2}{6(4k+2)^2+4k+3-2}[/dispmath]
Kako je [inlmath]\lim\limits_{k\to\infty}\frac{3(4k+3)^2}{6(4k+2)^2+4k+3-2}=\frac{1}{2}[/inlmath], i to je tačka nagomilavanja niza.
Dakle, polazni niz ima tri tačke nagomilavanja, [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath].