Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Ravnomerna konvergencija funkcionalnog niza

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Ravnomerna konvergencija funkcionalnog niza

Postod helena » Četvrtak, 27. Novembar 2014, 19:22

Ovaj zadatak mi nije baš najjasniji.
[dispmath]f_n(x)=\sqrt{(x-1)^2+{1\over n}}+x-\sqrt{1+{1\over n}}[/dispmath]
Ja sam želela ovo da ispitam preko
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\sup|f_n(x)-f(x)|[/dispmath]
Prvo sam "pustila" limes da teži beskonačnosti po [inlmath]n[/inlmath] za apsolutnu vrednost [inlmath]|f_n(x)-f(x)|[/inlmath], pa sam tek onda odredila maksimalnu apsolutnu vrednost za [inlmath]|f_n(x)-f(x)|[/inlmath] koja zavisi isključivo od [inlmath]x[/inlmath], gde je [inlmath]f_n(x)[/inlmath] funkcionalni niz, a [inlmath]f(x)[/inlmath] funkcija kojoj (po pretpostavci) ravnomerno konvergira funkcionalni niz [inlmath]f_n(x)[/inlmath].

Dobila sam da ne konvergira ravnomerno.

Da li je to tačno i da li može [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\sup[/inlmath] tako da se određuje?
helena  OFFLINE
 
Postovi: 7
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ravnomerna konvergencija funkcionalnog niza

Postod Onomatopeja » Sreda, 19. Avgust 2015, 15:42

helena je napisao:[dispmath]\lim_{x\to\infty}\sup|f_n(x)-f(x)|[/dispmath]

Ova formula i nije bas najtacnija. Trebalo je da pise [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|[/inlmath] (dakle, to nije limes superior), gde je [inlmath]A[/inlmath] skup na kome se ispituje ravnomerna konvergencija. Takodje, niste rekli gde je potrebno ispitati ravnomernu konvergenciju (zbog cega sam oznacio tu nepoznatu informaciju sa proizvoljnim skupom [inlmath]A[/inlmath])? Ja cu pretpostaviti da je to [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Ali dobro, nema veze, da se preziveti. Takodje, ako je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|[/inlmath] jednak nuli, onda imamo ravnomernu konvergenciju, dok ako je razlicit od nule, onda niz ne konvergira ravnomerno.

Kada se ispituje ravnomerna (iliti uniformna, kako god da volite) konvergencija prvo se proveri cemu taj funkcionalni niz tezi tacka po tacka, odnosno sta je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)[/inlmath] za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] (jer ako neki niz funkcija ravnomerno nekoj funkciji, onda on i tacka po tacka konvergira ka toj funkciji, pa na ovaj nacin "lovimo" kandidata ka kome bi nas niz ravnomerno konvergirao (klasicna prica)). Nije tesko videti da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=|x-1|+x-1[/inlmath] (setimo se da je korena funkcija neprekidna, te mozemo uci limesom pod koren, a da [inlmath]\frac{1}{n}\to0[/inlmath] kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath]) za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]. Oznacimo zato sa [inlmath]f(x)=|x-1|+x-1[/inlmath]. Tada prvo procenimo [inlmath]|f_n(x)-f(x)|[/inlmath] kad [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] (tj. procenimo supremum, od cega je manji). Pa nista, zapisimo sta je to tacno. Imamo (za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath])
[dispmath]\begin{align}|f_n(x)-f(x)|&=\left|\sqrt{(x-1)^2+\tfrac{1}{n}}+x-\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}-|x-1|-x+1\right|\\
&\leq\left(\sqrt{(x-1)^2+\tfrac{1}{n}}-|x-1|\right)+\left(\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}-1\right)\\
&\leq\tfrac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}-1.\end{align}[/dispmath]
Datu nejednakost u gornjem izrazu (mislimo na drugu, prva sledi iz nejednakosti trougla) dobijamo na sledeci nacin (a i primetimo se da ovde imamo neko "korenje", te da je pogodno da se toga otarosimo, sto radimo (obicno) pomocu racionalisanja datog izraza)
[dispmath]\frac{\left(\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{n}}\right)^2-(x-1)^2}{\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{n}}+|x-1|}=\frac{(x-1)^2+\frac{1}{n}-(x-1)^2}{\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{n}}+|x-1|}=\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{n}}+|x-1|}\leq\frac{1}{n}\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n}},[/dispmath]
gde smo ovde (u gornjem izrazu) datu nejednakost dobili iz procene [inlmath]\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{n}}+|x-1|\geq\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{n}}\geq\sqrt{\frac{1}{n}}[/inlmath] za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath].

Dakle, mi smo nasli da je ispunjeno [inlmath]\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\leq\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1[/inlmath]. Takodje, kako je za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] prema definiciji apsolutne vrednosti ispunjeno [inlmath]|f_n(x)-f(x)|\geq0[/inlmath], to zapravo imamo [inlmath]0\leq\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\leq\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1[/inlmath]. Setimo se da mi zapravo trazimo [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|[/inlmath]. Zato iz prethodnog, s obzirom da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1=0[/inlmath], prema "lemi o dva policajca" imamo da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in \mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=0[/inlmath], odnosno niz [inlmath]f_n(x)[/inlmath] ravnomerno konvergira po [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath] (i to ka [inlmath]f(x)[/inlmath]).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:14 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs