Često sam sretao zadatke na temu ispitivanja konvergencije gde opšti član reda sadrži binomni koeficijent, i to ne neki trivijalan koji se odmah transformiše u faktorijele već takav binomni koeficijent gde je "dole" uobičajeno (npr. [inlmath]k=0,1,2,3,\ldots[/inlmath]) a "gore" je necelobrojna vrednost, razlomak, ponekad i negativan:
[dispmath]\sum\limits_{k=2015}^{\infty}(-1)^k{-\frac{1}{2}\choose\;\;\;k}[/dispmath]
Primetite da je za ispitivanje konvergencije nebitno da li [inlmath]k[/inlmath] kreće od nule ili od npr [inlmath]10^{2718281828}[/inlmath], dok je kod traženja sume reda to naravno jako važno. Ne znam odakle mi ideja da u eksponent stavim [inlmath]2718281828[/inlmath], to mi donekle liči na nešto
Najpre je potrebno razviti binomni koeficijent, a kako se to radi pogledajte ovde. Dobićete red sa pozitivnim članovima. Dalje ima dva načina:
prvi: svede se binomni koeficijent do na duple faktorijele (i to ima ovde ili je ispravnije da kažem tamo). BTW, nadam se da neću izvući grdnju zbog ovog učestalog linkovanja ka istom. E, onda se primeni Rabeov kriterijum. Može i Dalamberov, ali je uzaludan, dobije se [inlmath]1[/inlmath].
drugi: svede se binomni koeficijent do na obične faktorijele (i to ima...da ne davim više). Potom se primeni Stirlingova formula (šta to beše?) i na kraju poredbeni kriterijum. Poređenje se vrši sa harmonijskim redom. Ako ima interesenata, pisaću i o tome.
Na oba načina dobija se naravno isti rezultat, ovaj red divergira.