Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Izračunati zbir

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Izračunati zbir

Postod Ilija » Četvrtak, 02. April 2015, 20:53

Neka je [inlmath]s=1+q+q^2+\cdots\;(|q|<1)[/inlmath] i [inlmath]S=1+Q+Q^2+\cdots\;(|Q|<1)[/inlmath], gde su [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] dati brojevi. Čemu je jednak zbir [inlmath]1+qQ+q^2Q^2+q^3Q^3+\cdots[/inlmath]?

Rešenje:
[dispmath]\frac{s\cdot S}{s+S-1}[/dispmath]
Nemam neku ideju za rešavanje.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Izračunati zbir

Postod desideri » Četvrtak, 02. April 2015, 22:02

Suma članova geometrijskog reda jednaka je:
[dispmath]\sum_{k=0}^{\infty}a^k=\frac{1}{1-a};\quad|a|<1[/dispmath]
Primeni ovo tri puta, za [inlmath]a=q[/inlmath], zatim [inlmath]a=Q[/inlmath] i [inlmath]a=qQ[/inlmath]. Dalje ne bi trebalo da je problem.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Izračunati zbir

Postod desideri » Četvrtak, 02. April 2015, 22:33

Evo i dodatnog pojašnjenja, ako ti nije poznat pomenuti detalj iz teorije redova (važi za [inlmath]|a|<1[/inlmath]):
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na^k=\lim_{n\to\infty}\left(1+a+a^2+a^3+\cdots\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-a^{n+1}}{1-a}=\frac{1}{1-a}[/dispmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Izračunati zbir

Postod Ilija » Četvrtak, 02. April 2015, 22:55

Pošto je ovo zadatak sa prijemnog na kome su predviđeni samo nizovi, bez dela o redovima (koliko sam ja upućen), ne znam kako im se provukao ovakav zadatak. Može li se on nekako drugačije rešiti? Inače, ovaj način mi je jasan. :)
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +2

Re: Izračunati zbir

Postod Daniel » Četvrtak, 02. April 2015, 23:02

Do te formule možeš doći i poznajući formulu za sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] članova geometrijskog niza:
[dispmath]S_n=a+aq+aq^2+aq^3+\cdots+aq^{n-1}=a\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
Pošto je kod tebe prvi član jednak jedinici, tj. [inlmath]a=1[/inlmath], formula se svodi na
[dispmath]S_n=\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
Takođe, pošto je [inlmath]\left|q\right|<1[/inlmath] i [inlmath]n\to\infty[/inlmath], tada [inlmath]q^n\to0[/inlmath], tako da se formula na kraju svodi na
[dispmath]S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\cancelto{0}{q^n}}{1-q}=\frac{1}{1-q}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izračunati zbir

Postod MarkoL » Utorak, 28. April 2015, 22:06

Izvinite momci ali ne uspeva mi da u funkciji [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] iskažem ovaj konačni zbir.

Tj. dolazim do formule
[dispmath]\frac{1}{1-qQ}[/dispmath]
Kako dalje postupno do rešenja?
Marko L.
Korisnikov avatar
MarkoL  OFFLINE
 
Postovi: 28
Lokacija: Treviso/Italy
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Izračunati zbir

Postod Daniel » Sreda, 29. April 2015, 00:49

Dobio si da je
[dispmath]s=\frac{1}{1-q}\quad\Rightarrow\quad q=\cdots[/dispmath]
kao i da je
[dispmath]S=\frac{1}{1-Q}\quad\Rightarrow\quad Q=\cdots[/dispmath]
Dobijene izraze za [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] uvrstiš u taj izraz [inlmath]\frac{1}{1-qQ}[/inlmath] i središ ga...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izračunati zbir

Postod MarkoL » Sreda, 29. April 2015, 05:40

Hvala ti boss !
Marko L.
Korisnikov avatar
MarkoL  OFFLINE
 
Postovi: 28
Lokacija: Treviso/Italy
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 7 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:20 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs