od desideri » Subota, 02. Maj 2015, 15:08
Otpozdrav, @display_error, pre svega dobro nam došao (došla) na forum Matemanija.
Na forumu postoje kvalitetni tutorijali o redovima (i nizovima), kao i detaljno urađeni zadaci u vezi sa redovima (i nizovima).
Moj ti je savet da najpre to ispregledaš, ne linkujem jer pretpostavljam da ćeš se snaći bez ikakvih problema.
Hteo sam da dodatno kažem ponešto osim ovoga što reče naš administrator @Daniel.
1) Uočimo niz brojeva: [inlmath]a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n[/inlmath]
2) Ovaj niz ima sumu svojih članova: [inlmath]a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n[/inlmath]
3) Ta suma članova nije red.
4) Red se definiše kao suma beskonačno mnogo članova niza, to jest:
[dispmath]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/dispmath]
5) Opšti član niza je [inlmath]a_n[/inlmath]. Opšti član reda je [inlmath]a_n[/inlmath]. Dakle isto je opšti član niza i opšti član reda, isto se označavaju i isto predstavljaju. Ali nije isto niz i red.
6) Niz parcijalnih suma reda (e ovo se često meša sa opštim članom reda) definiše se na sledeći način:
[dispmath]S_1=a_1\qquad S_2=a_1+a_2\qquad\cdots\qquad S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n[/dispmath]
7) Ako postoji konačna granična vrednost:
[dispmath]S=\lim_{n\to\infty}S_n[/dispmath]
Onda je red konvergentan.
Primer 1: [inlmath]1+5+5^2+\cdots+5^n[/inlmath] predstavlja sumu članova geometrijske progresije i nije red. To je konačna suma i dobija se prema poznatom:
[dispmath]1+5+5^2+\cdots+5^n=\frac{1-5^{n+1}}{1-5}[/dispmath]
Opšti član je [inlmath]a_n=5^n[/inlmath]. Naravno da je bitno naglasiti da je [inlmath]n=0,1,\mbox{itd}[/inlmath]
Primer 2: [inlmath]1,5,5^2,\ldots,5^n[/inlmath] predstavlja niz, to jest nanizane brojeve po nekom pravilu i ništa više. Opšti član je [inlmath]a_n=5^n[/inlmath].
Primer 3:
[dispmath]\sum_{n=0}^{\infty}5^n[/dispmath]
E ovo je red i to divergentan (zašto?)
Opšti član je [inlmath]a_n=5^n[/inlmath].
Naravno da sada možemo pričati i o graničnoj vrednosti niza, i o graničnoj vrednosti niza parcijalnih suma reda, i o sumi reda, a da ne pominjem potreban i dovoljne uslove konvergencije. No ako bilo ko želi da nastavi temu, tu sam.