Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Petak, 05. Jun 2015, 18:05
od Ilija
Prijemni ispit ETF - 29. jun 2004.
20. zadatak


Evo da postavim jedan zadatak, nisam dugo. Trazio sam da vidim da ga mozda nema i ne nadjoh nista. Nadam se da nisam za dzabe kuckao. :D

Ako su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] istovremeno peti, sedamnaesti i trideset sedmi clan i aritmeticke i geometrijske progresije, tada je [inlmath]a^{b-c}\cdot b^{c-a}\cdot c^{a-b}[/inlmath] jednako:
[dispmath]A)\;\frac{1}{3}\qquad\enclose{box}{B)\;1}\qquad C)\;\frac{1}{2}\qquad D)\;\frac{1}{4}\qquad E)\;2[/dispmath] E sad, pocnem ja sa geometrijskim nizom i stignem do dela kada dobijem da je: [inlmath]a^{b-c}\cdot b^{c-a}\cdot c^{a-b}[/inlmath]:
[dispmath]\left(b_1\cdot q^4\right)^{b-c}\cdot\left(b_1\cdot q^{16}\right)^{c-a}\cdot\left(b_1\cdot q^{36}\right)^{a-b}\\
\left(b_1^{b-c}\cdot b_1^{c-a}\cdot b_1^{a-b}\right)\cdot\left(q^{4(b-c)}\cdot q^{16(c-a)}\cdot q^{36(a-b)}\right)[/dispmath] Prvi cinilac jednak je jedinici, ali ne i drugi sto mi ne daje tacno resenje. Pokusao sam i preko aritmetickog, ali deluje mi dosta komplikovanije, jer ne znam kako da ih ukombinujem i iskoristim oba.

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Petak, 05. Jun 2015, 23:23
od Daniel
Neka si postavio, nismo imali ovakav zadatak. :)

Znamo da je kod aritmetičkog niza vrednost [inlmath]a_n[/inlmath] linearna funkcija od [inlmath]n[/inlmath], je l' tako? ([inlmath]a_n[/inlmath] je [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza, a [inlmath]n[/inlmath] redni broj člana niza.) Prema tome, grafik [inlmath]a_n[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]n[/inlmath] bila bi neka prava linija.

Kod geometrijskog niza, [inlmath]a_n[/inlmath] eksponencijalno raste ili opada s porastom [inlmath]n[/inlmath] (pod uslovom da je količnik geometrijskog niza [inlmath]q[/inlmath] pozitivan i različit od [inlmath]1[/inlmath]). Na grafiku, ta kriva će imati oblik eksponencijalne funkcije. (U našem slučaju, ništa se ne menja ni ako je [inlmath]q[/inlmath] negativno, budući da između petog, sedamnaestog i trideset sedmog člana geometrijskog niza figurišu parni stepeni količnika, koji su svakako pozitivni.)

Prava linija i eksponencijalna funkcija mogu imati najviše dve presečne tačke. Međutim, kod ova dva niza, odgovarajuća tri člana su međusobno jednaka, što bi značiko bar tri presečne tačke na grafiku. To je moguće samo onda kada kriva geometrijskog niza nije eksponencijalna već prava linija, tj. kada je [inlmath]q=\pm1[/inlmath], pa se ove dve krive poklapaju (tj. tada su ova dva niza identična). Odatle sledi da je [inlmath]a=b=c[/inlmath] (tj. razlika aritmetičkog niza [inlmath]d=0[/inlmath]). To i dalje može značiti dve moguće vrednosti količnika, [inlmath]q=\pm1[/inlmath], zbog pomenutog parnog stepena [inlmath]q[/inlmath] kao veze između ova tri zadata člana datih nizova (pretpostavka je da je [inlmath]q[/inlmath] realan broj).

Odatle zaključujemo da su u traženom izrazu [inlmath]a^{b-c}\cdot b^{c-a}\cdot c^{a-b}[/inlmath] svi eksponenti nule, pa je ceo proizvod jednak jedinici (doduše, uz uslov da su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] različiti od nule, kako u traženom izrazu [inlmath]a^{b-c}\cdot b^{c-a}\cdot c^{a-b}[/inlmath] ne bismo imali dizanje nule na nulti stepen – po meni, uslov različitosti ova tri člana od nule morao bi biti dat u tekstu zadatka).

I u tvom izrazu koji si dobio, [inlmath]\left(b_1^{b-c}\cdot b_1^{c-a}\cdot b_1^{a-b}\right)\cdot\left(q^{4\left(b-c\right)}\cdot q^{16\left(c-a\right)}\cdot q^{36\left(a-b\right)}\right)[/inlmath], izrazi u obe zagrade bi bile jedinice, jer je [inlmath]q=\pm1[/inlmath], a u drugoj zagradi figurišu količnici [inlmath]q[/inlmath] dignuti na nulte stepene.

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Petak, 05. Jun 2015, 23:50
od Ilija
Au, kakvo objasnjenje. :clap:
Ja sam ovo gurao cisto racunski, a nikad mi ne bi palo na pamet da ovako razmisljam.


Jedino mi ovaj deo nije najjasniji.
Daniel je napisao:Međutim, kod ova dva niza, odgovarajuća tri člana su međusobno jednaka, što bi značiko tri presečne tačke na grafiku. To je moguće samo onda kada kriva geometrijskog niza nije eksponencijalna već prava linija, tj. kada je [inlmath]q=\pm1[/inlmath]. Odatle sledi da je [inlmath]a=b=c[/inlmath] (tj. razlika aritmetičkog niza [inlmath]d=0[/inlmath]).

Da li to onda znaci da su te tri presecne tacke u stvari u jednoj tacki, pa se zakljucuje da je [inlmath]a=b=c[/inlmath]? Ili sam ja to pogresno skapirao?

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Subota, 06. Jun 2015, 00:01
od Daniel
Ma krenuo sam ja to prvo računski, pa sam dobio jednačinu [inlmath]8.[/inlmath] stepena po [inlmath]t[/inlmath], gde je [inlmath]t[/inlmath] smena za [inlmath]q^4[/inlmath] :D (za koju Wolfram kaže da ima samo jedno rešenje, [inlmath]t=1[/inlmath]). I onda sam se ipak opredelio za intuitivniji pristup. :)

A za tu rečenicu što ti nije jasna – i ja sam, pre tvog odgovora a prilikom ponovnog čitanja posta, primetio da nije jasna, pa sam je dopisao, istovremeno dok si ti kucao reply. :) Sada ta rečenica (dopunjena) glasi
Daniel je napisao:Međutim, kod ova dva niza, odgovarajuća tri člana su međusobno jednaka, što bi značiko tri presečne tačke na grafiku. To je moguće samo onda kada kriva geometrijskog niza nije eksponencijalna već prava linija, tj. kada je [inlmath]q=\pm1[/inlmath], pa se ove dve krive poklapaju (tj. tada su ova dva niza identična). Odatle sledi da je [inlmath]a=b=c[/inlmath] (tj. razlika aritmetičkog niza [inlmath]d=0[/inlmath]).

(Crveno je obeležen naknadno dopisan deo.)

Znači, nisu tri presečne tačke u jednoj tački, nego su sve tačke svake od ove dve krive istovremeno i njihove zajedničke tačke, tj. krive se poklapaju. Dakle, aritmetički niz i geometrijski niz su identični i imaju konstantne članove.

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Subota, 06. Jun 2015, 00:25
od Ilija
Da, ne pade mi na pamet da se te dve krive poklapaju (pa su nizovi identicni). :facepalm: :D

Zanima me samo, sta mislis, da li bi ovako uradjen zadatak bio priznat na prijemnom?

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Subota, 06. Jun 2015, 00:53
od desideri
Ilija je napisao:Zanima me samo, sta mislis, da li bi ovako uradjen zadatak bio priznat na prijemnom?

Ilija,
pa kako ne bi, vežbanku niko ne gleda. Koliko ja znam, merodavno je samo ono što se zaokruži, na svim prijemnim ispitima za tehničke fakultete BU.
Neka me neko ispravi ako grešim, ali koliko ja znam, kada su odgovori ponuđeni – to je to. Zaokruži se jedan od ponuđenih i samo se to gleda, niko ne traži postupak.
Naravno da je u postupku bitno doći do tačnog rešenja, kao što je ovo Danielovo.
Da me ljudi ne shvate pogrešno: nikako ne preporučujem nagađanje, za pogrešno zaokruženo svi imaju i neke negativne poene.

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Subota, 06. Jun 2015, 01:04
od Ilija
Nisam znao da se ne gleda postupak. :shock: Ali dobro. :D

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Subota, 06. Jun 2015, 01:07
od Gamma
Nisam ni ja :shock: Tako je u većini fakultet u Beogradu. Dok kod nas u Banjaluci, gleda se na svim fakultetima postupak.

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Subota, 06. Jun 2015, 01:22
od desideri
Možda previše širim temu, mogao sam ovo i na drugom mestu ali aktuelno je, pošto se bliže prijemni ispiti.
Ne znam kako je u regionu, ali znam za tri tehnička fakulteta BU:

  • Nije dozvoljeno ništa osim olovke. Zaboravite na kalkulator, to ne postoji. Papir se dobija. Neki su čak i olovke uveli, ne sme se nositi svoja.
  • Mobilne telefone najbolje je ostaviti kod kuće.
  • Dobije se vežbanka gde se škraba po volji, predaje se i to ali se ne gleda.
  • Gleda se samo ono zaokruženo na zvaničnom papiru sa postavljenim zadacima.
Eto tako.
Ako postu nije mesto ovde, molim Daniela da ga premesti i izvinjavam se još jednom ako previše opterećujem temu :( .

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Subota, 06. Jun 2015, 14:40
od bobanex
Racunskim putem se dolazi do jednacine
[dispmath]3q^{32}-8q^{12}+5=0[/dispmath] cija su dva resenja ocigledna, ali bih ostala malo teze nasao.

Re: Clanovi aritmetickog i geometrijskog niza – prijemni ETF 2004.

PostPoslato: Četvrtak, 14. Jun 2018, 20:33
od kazinski
Imamo:
[dispmath]a_1+4d,\quad a_1+16d,\quad a_1+36d\\
b_1q^4,\quad b_1q^{16},\quad b_1q^{36}[/dispmath] Sada računamo postavljeni izraz tako što članove geometrijskog niza posmatramo kao baze dok članove aritmetičkog niza kao eksponente:
[dispmath]\left(b_1q^4\right)^{b_1+16d-a_1-36d}\cdot\left(b_1q^{16}\right)^{b_1+36d-a_1-4d}\cdot\left(b_1q^{36}\right)^{b_1+4d-a_1-16d}[/dispmath] Kada sve sredimo u eksponentu dobijamo [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath](b_1q)^0=1[/dispmath]