Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Jednačina s trećim korenima

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Jednačina s trećim korenima

Postod Jesenjin » Sreda, 14. Oktobar 2015, 15:39

Interesuje me kako da resim zadatak: resiti jednačinu x∛(x∛(x∛(x∛x) ) ) da je jednako 8. Pod svakim korenom se nalazi sve sto je iza njega.
Ovde se ne vidi lepo jednacina. :(
Poslednji put menjao Daniel dana Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 13:18, izmenjena samo jedanput
Razlog: Promena naziva teme, u skladu s tačkom 9. Pravilnika
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Jednačina s trećim korenima

Postod Daniel » Sreda, 14. Oktobar 2015, 15:46

E, da bi se jednačina videla lepo, potrebno je da zadatak postaviš u skladu s Pravilnikom foruma, koji očigledno prilikom registracije nisi pročitao, iako si bio dužan da to učiniš.

Ajd sad lepo postavi zadatak, tako da bude u skladu s pravilima, pa ćeš nakon toga moći da očekuješ i odgovor.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Jednačina s trećim korenima

Postod Jesenjin » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 09:44

Izvinjavam se zbog prethodnog posta postavljenog na pogrešan način!

Ovo je jednačina oko koje mi treba pomoć:
[dispmath]x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]x\cdots}}}=8[/dispmath]
Iskreno, ne znam ni kako da počnem, inače bih napisao taj svoj postupak (u skladu sa pravilnikom foruma). Ako neko ima vremena, molim za pomoć!

Unapred hvala!!!
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Jednačina s trećim korenima

Postod Daniel » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 12:35

E, sad je već mnogo bolje. :thumbup:

Kad u jednačini imaš [inlmath]n[/inlmath]-ti koren, oslobađaš ga se tako što obe strane jednačine digneš na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen, pri čemu se [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen i [inlmath]n[/inlmath]-ti koren skrate. Pri tome, ako je [inlmath]n[/inlmath] parno (što ovde nije slučaj, ali govorim uopšteno), tada je postupak nešto komplikovaniji jer treba voditi računa o oblasti definisanosti (potkorena veličina parnog korena ne sme biti negativna), kao i o tome da se dizanjem na parni stepen gubi informacija o predznaku. U ovom zadatku imamo neparne korenove, samim tim prilikom rešavanja primenjujemo i neparno stepenovanje, tako da je sve to mnogo jednostavnije.

Digneš na [inlmath]3.[/inlmath] stepen i levu i desnu stranu i dobiješ:
[dispmath]x^3\left(x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]x}}\right)=8^3[/dispmath]
to jest, kad se pomnože [inlmath]x^3[/inlmath] i ono [inlmath]x[/inlmath] unutar zagrade, dobijamo [inlmath]x^4[/inlmath]:
[dispmath]x^4\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]x}}=8^3[/dispmath]
Sada opet, radi oslobađanja još jednog [inlmath]3.[/inlmath] korena na levoj strani, dižemo obe strane na [inlmath]3.[/inlmath] stepen:
[dispmath]\left(x^4\right)^3\left(x\sqrt[3]{x\sqrt[3]x}\right)=\left(8^3\right)^3[/dispmath]
Na osnovu svojstva [inlmath]\left(x^a\right)^b=x^{ab}[/inlmath], umesto [inlmath]\left(x^4\right)^3[/inlmath] pišemo [inlmath]x^{12}[/inlmath], što pomnoženo onim [inlmath]x[/inlmath] unutar zagrade daje [inlmath]x^{13}[/inlmath]:
[dispmath]x^{13}\sqrt[3]{x\sqrt[3]x}=8^9[/dispmath]
Bi li sad umeo da nastaviš po istom tom principu? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Jednačina s trećim korenima

Postod Jesenjin » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 12:42

Hvala puno na odgovoru!
To za skraćivanje korena stepenovanjem znam, ne bi mi bio problem da nema onih "[inlmath]\cdots[/inlmath]" u nastavku. Vrednost pod korenom se nastavlja. To me zbunjuje. Mislio sam da to ide kao neki geometrijski niz.
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Jednačina s trećim korenima

Postod Daniel » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 13:07

U pravu si, izvinjavam se, moja greška, bio sam radio prema onoj tvojoj postavci iz prvog posta, u kojoj nisu bile napisane te tri tačke. Naravno da one bitno menjaju stvar. :)
Ali, to je samo još jedan pokazatelj koliko jednačina može biti netačno napisana kad nije napisana u Latexu. :) A samim tim, i pokazatelj opravdanosti i neophodnosti korišćenja Latexa. :)

Evo odgovora i za ispravno napisan zadatak:
Svaki [inlmath]3.[/inlmath] koren pišemo kao stepen na [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]:
[dispmath]x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]x\cdots}}}=x\left(x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]x\cdots}}\right)^{\frac{1}{3}}=x\left(x\left(x\sqrt[3]{x\sqrt[3]x\cdots}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}=\\
=x\left(x\left(x\left(x\sqrt[3]x\cdots\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}=x\left(x\left(x\left(x\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdots\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}=[/dispmath]
Sada svaki činilac unutar prve spoljašnje zagrade (a ima ih dva, tj. [inlmath]x[/inlmath] i ono što sledi u zagradi) dižemo na [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]:
[dispmath]={\large x\cdot x^{\frac{1}{3}}\left(x\left(x\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdots\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3^2}}}=[/dispmath]
pa isto to i sa sledećom zagradom, pri čemu njene činioce dižemo na [inlmath]\frac{1}{3^2}[/inlmath]:
[dispmath]={\large x\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3^2}}\left(x\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdots\right)^{\frac{1}{3^3}}}=[/dispmath]
pa sada na [inlmath]\frac{1}{3^3}[/inlmath]:
[dispmath]={\large x\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3^2}}\cdot x^{\frac{1}{3^3}}\cdot x^{\frac{1}{3^4}}\cdots}=[/dispmath]
i to je onda jednako
[dispmath]={\large x^{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\cdots}}=8[/dispmath]
Ovo se sad lako rešava, budući da u eksponentu nepoznate [inlmath]x[/inlmath] imaš sumu geometrijskog niza...


(Nek ostane i ono prethodno rešenje, za onaj slučaj bez tri tačke, neće da škodi, a možda nekome i bude od koristi... ;) )
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Jednačina s trećim korenima

Postod desideri » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 14:43

@Jesenjin,
bilo bi jako lepo s tvoje strane da navedeš i konačno rešenje zadatka, posle Danielovog detaljnog objašnjenja. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 51 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 14:31 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs