od Onomatopeja » Ponedeljak, 11. Januar 2016, 22:06
Neka je [inlmath]t=x^2[/inlmath]. Tada je [inlmath]x^{2n}-1=t^n-1[/inlmath]. Kako su sve nule polinoma [inlmath]t^n-1[/inlmath] date sa [inlmath]\displaystyle t=\cos\Bigl(\frac{2\pi k}{n}\Bigr)+i\sin\Bigl(\frac{2\pi k}{n}\Bigr)=\exp\Bigl(\frac{2\pi ik}{n}\Bigr)[/inlmath] za [inlmath]k=0,\ldots,n-1[/inlmath], to onda zbog jedinstvenosti faktorizacije polinoma dobijamo [inlmath]\displaystyle t^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(t-\exp\Bigl(\frac{2\pi ik}{n}\Bigr)\biggr)[/inlmath], a samim tim i
[dispmath]x^{2n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x^2-\exp\Bigl(\frac{2\pi ik}{n}\Bigr)\biggr)=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x+\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)=\\
=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi(n-k)}{n}\Bigr)\biggr),[/dispmath]
gde smo iskoristili da je [inlmath]\displaystyle\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)=-\exp(-i\pi)\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)=-\exp\Bigl(-\frac{i\pi(n-k)}{n}\Bigr)[/inlmath].
Takodje, obratimo paznju kako [inlmath]k[/inlmath] prolazi [inlmath]0,1,\ldots, n-1[/inlmath], to [inlmath]n-k[/inlmath] prolazi [inlmath]n,n-1,\ldots,1[/inlmath] (odnosno [inlmath]1,2,\ldots,n[/inlmath]), te dalje dobijamo
[dispmath]\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi(n-k)}{n}\Bigr)\biggr)=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\prod_{k=1}^n\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)=\\
=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr),[/dispmath]
gde smo faktor [inlmath]x^2-1[/inlmath] dobili kada smo pomnozili [inlmath]x-1[/inlmath] (iz prvog proizvoda, za [inlmath]k=0[/inlmath] je [inlmath]\displaystyle\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)=1[/inlmath]) i [inlmath]x+1[/inlmath] (iz drugog proizvoda, za [inlmath]k=n[/inlmath] je [inlmath]\displaystyle\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)=-1[/inlmath]).
Sada je jasno da dobijamo trazeni rezultat, s obzirom na to da je
[dispmath]\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)=x^2-x\biggl(\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)+\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)+1=x^2-2x\cos\frac{k\pi}{n}+1.[/dispmath]
Za drugi deo zadatka (koji se jasno dobija iz prvog dela), potrebno je samo prepoznati vezu izmedju [inlmath]\displaystyle\sin\frac{k\pi}{2n}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x^2-2x\cos\frac{k\pi}{n}+1[/inlmath] za zgodno izabrano [inlmath]x[/inlmath] (a verovatno nam formula [inlmath]2\sin^2\xi=1-\cos 2\xi[/inlmath] daje odgovor i na to pitanje). Taj deo za domaci.