Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Beskonačan aritmetički niz

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Beskonačan aritmetički niz

Postod Uroš » Utorak, 12. Januar 2016, 18:22

Pozdrav svima.

Evo jednog konkursnog zadatka iz najnovije "Tangente" (T82), oko kojeg mi je potrebna pomoć kako da krenem:

[inlmath]M1353.[/inlmath] Dat je beskonačan aritmetički niz čiji su članovi prirodni brojevi. Dokazati da ako nizu pripada potpun kvadrat nekog broja, tada beskonačno mnogo potpunih kvadrata pripada datom nizu.
Uroš  OFFLINE
 
Postovi: 36
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 13 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Beskonačan aritmetički niz

Postod Onomatopeja » Utorak, 12. Januar 2016, 22:37

Dakle, znamo da broj [inlmath]m^2[/inlmath] za neko [inlmath]m\in\mathbb{N}[/inlmath] pripada nasem aritmetickom nizu (gde cemo sa [inlmath]d[/inlmath] obeleziti razliku dva uzastopna clana). Onda su iduci clanovi dati sa [inlmath]m^2+d,\;m^2+2d,\ldots,m^2+nd[/inlmath] (gde [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]). U redu, vidimo da imamo [inlmath]m^2+nd[/inlmath], tj. da se javlja ta razlika [inlmath]d[/inlmath]. Onda je logicno da taj novi (koji trazimo da bude potpun kvadrat) clan isto sadrzi [inlmath]d[/inlmath] (a vec imamo i ovo [inlmath]m[/inlmath]), te je razumno pokusati sa [inlmath](m+d)^2[/inlmath]. Na tebi ostaje da proveris da li je [inlmath](m+d)^2[/inlmath] clan naseg aritmecikog niza. Ako jeste, onda je lako naci iduci clan, ponavljajuci prethodni postupak (i taj iduci clan bi trebalo da bude [inlmath](m+d+d)^2=(m+2d)^2[/inlmath]). I tako dalje, i tako dalje.
 
Postovi: 593
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 561 puta

  • +1

Re: Beskonačan aritmetički niz

Postod Corba248 » Petak, 17. Mart 2017, 23:00

Možda je zanimljivo i da slično važi i ako je neki član aritmetičkog niza celih brojeva kub celog broja da onda u tom nizu postoji beskonačno mnogo članova koji su kubovi celih brojeva. :)
Ako je [inlmath]a_k=n^3[/inlmath] član, a [inlmath]d[/inlmath] razlika tog niza onda je:
[dispmath]a_{k+3n^2+3nd+d^2}=(n+d)^3[/dispmath] Pitam se da li postoji nešto slično i za više stepene od kuba? :?:
Moderator
 
Postovi: 305
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 338 puta

  • +1

Re: Beskonačan aritmetički niz

Postod Daniel » Subota, 18. Mart 2017, 03:27

Pa, po istoj logici kao i za kvadrat i za kub, ako imamo neki član niza [inlmath]a_k=m^n[/inlmath] ([inlmath]m,n\in\mathbb{N}[/inlmath]), tada će [inlmath](m+d)^n[/inlmath] biti jednako
[dispmath](m+d)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}m^{n-i}d^i={n\choose0}m^nd^0+\sum_{i=1}^n{n\choose i}m^{n-i}d^i=m^n+d\sum_{i=1}^n{n\choose i}m^{n-i}d^{i-1}[/dispmath] i odatle se dobije
[dispmath]a_{\large k+\sum\limits_{i=1}^n{n\choose i}m^{n-i}d^{i-1}}=(m+d)^n[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Beskonačan aritmetički niz

Postod Ojler79532 » Subota, 13. Jul 2019, 00:45

Naišao sam na ovaj zadatak u nekoj skroz drugoj zbirci, i nije mi sve jasno..


Neka je [inlmath]x_n=x_0+nd=p^2,\;p\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Nađimo [inlmath]x_m[/inlmath] tako da bude [inlmath]x_m=x_0+md=q^2,\;q\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Oduzimanjem ovih jednakosti dobijamo [inlmath](m-n)d=(q+p)(q-p)[/inlmath]. Neka je
[dispmath]m-n=q+p\\
d=q-p,\\
q=p+d\\
m=q+p+n=n+2p+d.[/dispmath] Sada sledi
[dispmath]x_m=p^2+2pd+d^2=(p+d)^2.[/dispmath] Sada se vidi da je za
[dispmath]m_1=m+2(p+q)+d=n+4p+4d\\
x_{m_1}=(p+2d)^2[/dispmath] Nadalje, vidi se da je [inlmath]x_{m_k}=(p+kd)^ 2[/inlmath]


E sad, u rešenju, u ovoj jednakosti [inlmath](m-n)d=(q+p)(q-p)[/inlmath] kako su tek tako izdjednačili one činioce? Zatim, ako smo rekli da je [inlmath]q=p+d[/inlmath] zar odmah ne sledi [inlmath]x_m=q^2=(p+d)^2[/inlmath] (što su dobili nakon još računa). I šta je u stvari [inlmath]m_1[/inlmath]? Tačnije, nejasno mi je kako se "sada vidi" da je [inlmath]m_1=m+2(p+q)+d[/inlmath]
 
Postovi: 30
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 19 puta

  • +1

Re: Beskonačan aritmetički niz

Postod Daniel » Ponedeljak, 15. Jul 2019, 11:52

Po meni, nepotrebno zakomplikovan postupak, mnogo jednostavniji je Onomatopejin način.

Ojler79532 je napisao:E sad, u rešenju, u ovoj jednakosti [inlmath](m-n)d=(q+p)(q-p)[/inlmath] kako su tek tako izdjednačili one činioce?

Očigledno je u pitanju „napipavanje“, tim pre što su napisali „neka je“ a nisu napisali „sledi“. Dakle, prvo pretpostavimo da je [inlmath]m-n=q+p[/inlmath] i [inlmath]d=q-p[/inlmath], a zatim proverimo da li će se, s takvom pretpostavkom, za [inlmath]x_m[/inlmath] dobiti da je potpun kvadrat.

Ojler79532 je napisao:Zatim, ako smo rekli da je [inlmath]q=p+d[/inlmath] zar odmah ne sledi [inlmath]x_m=q^2=(p+d)^2[/inlmath] (što su dobili nakon još računa).

Na ovo sam, zapravo, malopre i odgovorio. Dakle, pošto smo pretpostavili ono izjednačavanje činilaca, sad treba proveriti da li je [inlmath]x_m[/inlmath] potpun kvadrat (ispostavlja se da jeste).

Ojler79532 je napisao:I šta je u stvari [inlmath]m_1[/inlmath]? Tačnije, nejasno mi je kako se "sada vidi" da je [inlmath]m_1=m+2(p+{\color{red}q})+d[/inlmath]

Umesto ovog crvenog [inlmath]q[/inlmath] treba da stoji [inlmath]d[/inlmath].
[inlmath]m_1[/inlmath] je indeks nekog novog člana niza koji će takođe biti potpun kvadrat (kao što je bio slučaj i za [inlmath]x_n[/inlmath] i za [inlmath]x_m[/inlmath]). Jer, tekst zadatka s početka ove teme upravo i kaže da, ako postoji jedan član beskonačnog aritmetičkog niza čija je vrednost potpun kvadrat, tada postoji beskonačno mnogo takvih članova niza. Dakle, kao što smo dobili da je [inlmath]q=p+d[/inlmath], analogno će biti i [inlmath]r=q+d=p+2d[/inlmath] (pri čemu je taj novi član niza potpun kvadrat nekog celog broja [inlmath]r[/inlmath]), a kao što je bilo [inlmath]m=n+2p+d[/inlmath], analogno će indeks tog novog člana biti [inlmath]m_1=m+2q+d=m+2(p+d)+d[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 23. Avgust 2019, 17:30 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs