Evo prepisujem definiciju iz knjige Matematicka Analiza 1 od Zorana Kadelburga i Dusana Adnadjevica.
Za funkciju [inlmath]f\colon A\to\mathbb{R}[/inlmath] realne promenljive kazemo da je neprekidna u tacki [inlmath]a\in A[/inlmath] ako za svaku okolinu [inlmath]V[/inlmath] tacke [inlmath]f(a)[/inlmath] postoji okolina [inlmath]U[/inlmath] tacke [inlmath]a[/inlmath] (u skupu [inlmath]A[/inlmath]), takva da je [inlmath]f(U)\subset V[/inlmath]. Drugim recima, [inlmath]f[/inlmath] je neprekidna u [inlmath]a[/inlmath] ako
[dispmath](\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(a)|<\epsilon)[/dispmath]
Ovde se nigde ne spominje da mora biti definisana u okolini tacke (naravno ona moze i najcesce jeste).
Sada citiram deo koji se nalazi ispod ove definicije:
Primecujemo odmah da definicija neprekidnosti ima slicnosti sa definicijom granicne vrednosti funkcije u tacki. No postoje i neke vazne razlike. Prvo, tacka [inlmath]a\in A[/inlmath] u kojoj se govori o neprekidnosti funkcije [inlmath]f[/inlmath] ne mora biti tacka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] - ona, naprotiv, moze biti
izolovana tacka tog skupa, tj. moze imati svojstvo da u nekoj okolini tacke [inlmath]U(a)[/inlmath] nema drugih tacka skupa [inlmath]A[/inlmath] osim nje same.
Jasno je da se u tom slucaju ne moze govoriti o granicnoj vrednosti [inlmath]\lim\limits_{x\to a}f(x)[/inlmath]; jasno je, takodje, da je u tom slucaju funkcija uvek neprekidna u tacki [inlmath]a[/inlmath], jer je [inlmath]f\bigl(U(a)\bigr)=\{f(a)\}\subset V[/inlmath] za svaku okolinu [inlmath]V[/inlmath] tacke [inlmath]f(a)[/inlmath]. No to je trivijalan slucaj.
Kraj citata.
I sledeci stav koji se nalazi pasus ispod tog citata:
Neka je [inlmath]f\colon A\to\mathbb{R}[/inlmath] funkcija realne promenljive i [inlmath]a\in A[/inlmath] tacka
nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath].
Tada su sledeca tvrdjenja ekvivalentna:
1) funkcija [inlmath]f[/inlmath] je neprekinda u tacki [inlmath]a[/inlmath];
2) [inlmath]\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)[/inlmath]
3) za svaki niz [inlmath](x_n),\;x_n\in A[/inlmath], za koji je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a[/inlmath] vazi [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)[/inlmath]
Znaci ona definicija neprekidnost koju sam gore skroz napisao je najopstija, a sve ostalo je posledica nje.
Da budem iskren ja retko kad obracam paznje na te sitnice u definicijama, teoremama. Vise sam covek koji voli da vidi integral i da cepa.
Pogledao sam one linkove i oni uglavnom uzimaju ovaj stav kao definiciju ili prvo uvedu granicnu vrednost pa onda neprekidnost, ali to nije najopstiji nacin (samim tim i nije najkorektniji).
Nadam se da je ovo razjasnilo