Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Harmonijski niz

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Re: Harmonijski niz

Postod Trougao » Ponedeljak, 01. Avgust 2016, 11:15

Mislio sam bas neprekidna, ona jeste diskretna. Niz ima sve tacke izolovane pa je po definicji nepekidnosti on neprekidan u svakoj njegovoj tacki.
Ako imamo na primer neku funkciju [inlmath]f: A \to \mathbb{R}[/inlmath]
[dispmath](\forall \epsilon > 0)(\exists \delta >0)(\forall x \in A)(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| <\epsilon)[/dispmath]
Na primer, ako uzmemo bilo koje epsilon onda ce svako [inlmath]0<\delta < 1[/inlmath] da radi jer je jedina vrednost funkcije u toj okolini tacke [inlmath]x_0[/inlmath] (koje je prirodan broj) upravo bas ta tacka (jer je funkcija tj. niz definisan na prirodnim brojevima), a u definiciji imamo [inlmath](\forall x \in A)[/inlmath]. Pa je razlika [inlmath]|f(x) - f(x_0)| <\epsilon[/inlmath] trivijalno ispunjena [inlmath]|f(x_0) - f(x_0)| = 0 < \epsilon[/inlmath]
Valjda sam dobro objasnio. :)
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Harmonijski niz

Postod Daniel » Ponedeljak, 01. Avgust 2016, 16:22

Hm... :think1: Si ti siguran u to?
Po definiciji neprekidnosti, da bi funkcija uopšte mogla biti neprekidna u nekoj tački, osnovni je preduslov da bude definisana u nekoj okolini te tačke.
Međutim, kod diskretne funkcije ti nemaš nijednu tačku za koju važi da je u nekoj njenoj okolini funkcija definisana.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Harmonijski niz

Postod Trougao » Ponedeljak, 01. Avgust 2016, 18:24

Siguran sam. ;) Znam da nam je to pricao i asistent. Napisao sam gore razlog. Meni je to isprva delovalo besmisleno ali i nije.
Da bi fukncija bila neprekidna ne mora da bude definisana u okolini tacke, to ne pise u definiciji. U definicji granicne vrednosti kaze neka je [inlmath]x_0[/inlmath] tacka nagomilavanja.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

Re: Harmonijski niz

Postod Daniel » Ponedeljak, 01. Avgust 2016, 22:48

U svim definicijama do kojih sam ja došao spominje se definisanost funkcije u okolini tačke:
http://www.pmf.ni.ac.rs/pmf/predmeti/25 ... anje_2.pdf (str. 10)
http://www.rgf.bg.ac.rs/predmet/RO/III% ... RO_Lim.pdf (str. 16)
https://sh.wikipedia.org/wiki/Neprekidne_funkcije

Ako imaš link neke drugačije definicije, u kojoj definisanost u okolini tačke nije uslov za neprekidnost, bi li mogao da priložiš isti?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Harmonijski niz

Postod Trougao » Utorak, 02. Avgust 2016, 00:20

Evo prepisujem definiciju iz knjige Matematicka Analiza 1 od Zorana Kadelburga i Dusana Adnadjevica.
Za funkciju [inlmath]f\colon A\to\mathbb{R}[/inlmath] realne promenljive kazemo da je neprekidna u tacki [inlmath]a\in A[/inlmath] ako za svaku okolinu [inlmath]V[/inlmath] tacke [inlmath]f(a)[/inlmath] postoji okolina [inlmath]U[/inlmath] tacke [inlmath]a[/inlmath] (u skupu [inlmath]A[/inlmath]), takva da je [inlmath]f(U)\subset V[/inlmath]. Drugim recima, [inlmath]f[/inlmath] je neprekidna u [inlmath]a[/inlmath] ako
[dispmath](\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(a)|<\epsilon)[/dispmath]
Ovde se nigde ne spominje da mora biti definisana u okolini tacke (naravno ona moze i najcesce jeste).
Sada citiram deo koji se nalazi ispod ove definicije:
Primecujemo odmah da definicija neprekidnosti ima slicnosti sa definicijom granicne vrednosti funkcije u tacki. No postoje i neke vazne razlike. Prvo, tacka [inlmath]a\in A[/inlmath] u kojoj se govori o neprekidnosti funkcije [inlmath]f[/inlmath] ne mora biti tacka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] - ona, naprotiv, moze biti izolovana tacka tog skupa, tj. moze imati svojstvo da u nekoj okolini tacke [inlmath]U(a)[/inlmath] nema drugih tacka skupa [inlmath]A[/inlmath] osim nje same. Jasno je da se u tom slucaju ne moze govoriti o granicnoj vrednosti [inlmath]\lim\limits_{x\to a}f(x)[/inlmath]; jasno je, takodje, da je u tom slucaju funkcija uvek neprekidna u tacki [inlmath]a[/inlmath], jer je [inlmath]f\bigl(U(a)\bigr)=\{f(a)\}\subset V[/inlmath] za svaku okolinu [inlmath]V[/inlmath] tacke [inlmath]f(a)[/inlmath]. No to je trivijalan slucaj.
Kraj citata.
I sledeci stav koji se nalazi pasus ispod tog citata:
Neka je [inlmath]f\colon A\to\mathbb{R}[/inlmath] funkcija realne promenljive i [inlmath]a\in A[/inlmath] tacka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath].
Tada su sledeca tvrdjenja ekvivalentna:
1) funkcija [inlmath]f[/inlmath] je neprekinda u tacki [inlmath]a[/inlmath];
2) [inlmath]\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)[/inlmath]
3) za svaki niz [inlmath](x_n),\;x_n\in A[/inlmath], za koji je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a[/inlmath] vazi [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)[/inlmath]
Znaci ona definicija neprekidnost koju sam gore skroz napisao je najopstija, a sve ostalo je posledica nje.
Da budem iskren ja retko kad obracam paznje na te sitnice u definicijama, teoremama. Vise sam covek koji voli da vidi integral i da cepa. :mrgreen:
Pogledao sam one linkove i oni uglavnom uzimaju ovaj stav kao definiciju ili prvo uvedu granicnu vrednost pa onda neprekidnost, ali to nije najopstiji nacin (samim tim i nije najkorektniji).
Nadam se da je ovo razjasnilo
Poslednji put menjao desideri dana Sreda, 03. Avgust 2016, 17:29, izmenjena 2 puta
Razlog: Ispravka greške u kucanju ("ekvivalnetna" je zamenjeno s "ekvivalentna".)
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

Re: Harmonijski niz

Postod Daniel » Utorak, 02. Avgust 2016, 07:36

Hvala na trudu da sve ovo prekucaš, verujem da je bio pozamašan posao.
Pročitao sam sve, i zaista je sve logično.
Ukoliko je ova definicija tačna (a nemam razloga da sumnjam da jeste), onda ove definicije do kojih sam ja došao (i koje sam linkovao), ako nisu pogrešne onda su svakako nepotpune, jer su ograničene samo na slučaj definisanosti funkcije u okolini posmatrane tačke, dok ništa ne govore za slučaj kada funkcija u toj okolini nije definisana – zbog čega se i ne bi mogle smatrati validnim definicijama.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Harmonijski niz

Postod desideri » Sreda, 03. Avgust 2016, 16:56

Trougao je napisao:Mislio sam bas neprekidna, ona jeste diskretna.

Na ovako formulisanu rečenicu, makar bila i izvučena iz konteksta, ne pristajem.
Nikad.
p.s. Ovo je slično kao kada bi se napisalo:
"Mislio sam baš crna, ona jeste bela."
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Harmonijski niz

Postod Trougao » Sreda, 03. Avgust 2016, 20:30

Pa neprekidna u smislu definicije date gore(naravno da recenica cudno zvuci ). Funkcija je neprekidna u svakoj izolovanoj tacki.
Npr. da li je funkcija definisana ovako neprekidna:
Koja za [inlmath]0[/inlmath] daje vrednost [inlmath]1[/inlmath] i za ostale vrednosti ne postoji.
To je samo jedna tacka zar ne? Pa sta da kazemo o toj funkciji da li je ona neprekidna, prekidna ili nesta trece?
Uzmimo sada funkciju kao gore navednu samo sto za [inlmath]x = 1[/inlmath] vraca na primer [inlmath]2[/inlmath] i ne postoji u ostalim tackama.
Da li je ova funkcija sada neprekidna? To su dve razdvojene tacke.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

Re: Harmonijski niz

Postod desideri » Sreda, 03. Avgust 2016, 21:10

Tvoj primer @Trougao je očigledan i po mom mišljenju trivijalan.
Mislim da smo zalutali u odnosu na tvoju temu, pogledaj naslov sopstvene teme. Molim te.
Zašto niko ne odgovara rečima na pitanje koje sam postavio:
Da li je red beskonačna suma?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Harmonijski niz

Postod Trougao » Sreda, 03. Avgust 2016, 21:40

Ja mislim da jeste. I ne mislim da je to pogresno. To sve zavisi od licnog uverenja da li posmatras beskonacnost kao nesta sto postoji ili nesta cemu se moze samo teziti.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 48 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 11:11 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs