Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Zadatak sa prijemnog na ETF-u 2016g. (aritmeticki i geometrijski niz)

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Zadatak sa prijemnog na ETF-u 2016g. (aritmeticki i geometrijski niz)

Postod leaf » Ponedeljak, 08. Avgust 2016, 10:21

Prijemni ispit ETF - 27. jun 2016. – 5. zadatak

Zadatak glasi:
5. U rastućoj aritmetičkoj progresiji od [inlmath]11[/inlmath] članova, prvi, peti i jedanaesti član čine prva tri člana geometrijske progresije. Ako je prvi član te aritmetičke progresije jednak [inlmath]24[/inlmath], tada je zbir svih članova te aritmetičke progresije jednak:
[inlmath](A)\;249\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;264\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;378\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;429\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;501\qquad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Rad:
Odmah mozemo da primetimo da je dat rastuci aritmeticki niz iz kojeg proizilazi geometrijski, pa to mozemo zapisati radi lakse preglednosti

Aritmeticki niz:
[dispmath]a_1,\;a_2,\;a_3,\;a_4,\;a_5,\;a_6,\;a_7,\;a_8,\;a_9,\;a_{10},\;a_{11}[/dispmath]
U zadatku je dalje receno da su [inlmath]a_1,\;a_5,\;a_{11}[/inlmath] zapravo prva tri clana geometrijskog niza, pa mozemo to onda zapisati ovako:

Geometrijski niz:
[dispmath]a_1,\;a_5,\;a_{11}[/dispmath]
U aritmetickom nizu bilo koji clan mozemo zapisati kao zbir prvog clana i razlike izmedju susednih clanova koje se obicno obelezava slovom [inlmath]d[/inlmath].
npr. [inlmath]a_6[/inlmath] mozemo napisati kao [inlmath]a_1+5\cdot d[/inlmath] , razlog zasto je petica ispred [inlmath]d[/inlmath] je u tome što se razlika izmedju susednih clanova ponavlja [inlmath]5[/inlmath] puta sve dok ne stigne do sestog clana tog niza.



Sada kada ovo znamo mozemo da napisemo geometrijski niz u tom obliku, posto vazi da je:
[inlmath]a_1=a_1\\
a_5=a_1+4d\\
a_{11}=a_1+10d[/inlmath]

Dakle, gore spomenut geometrijski niz mozemo napisati ovako:
[dispmath]a_1,\;a_1+4d,\;a_1+10d[/dispmath]
Setimo se sada formule za geometrijsku sredinu susednih clanova:
[dispmath]a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}[/dispmath]
Dakle srednji clan je u stvari koren proizvoda dva njemu susedna clana, posto je nama srednji clan [inlmath]a_5[/inlmath] tj. [inlmath]a_1+4d[/inlmath]

Sledi dakle da je [inlmath]a_5=\sqrt{a_1\cdot a_{11}}[/inlmath] a to je u stvari:
[dispmath]a_1+4\cdot d=\sqrt{a_1\cdot(a_1+10\cdot d)}[/dispmath]
Sada kvadriramo levu i desnu stranu
Pa dobijamo:

[inlmath](a_1+4\cdot d)^2=a_1\cdot(a_1+10\cdot d)\iff[/inlmath]
Sada malo sredimo ovo (skracivanje, prebacivanje sa leve na desnu stranu itd.)

[inlmath]a_1^2+8\cdot a_1\cdot d+16\cdot d^2=a_1^2+10\cdot a_1\cdot d\iff\\
\cancel{a_1^2}+16\cdot d^2=\cancel{a_1^2}+2\cdot a_1\cdot d\\
\cancel{16}\cdot d^2=\cancel2\cdot a_1\cdot d\\
8\cdot d^\cancel 2=a_1\cdot\cancel d\\
8\cdot d=a_1[/inlmath]
Dakle, dobijamo:
[dispmath]8\cdot d=a_1[/dispmath]
Posto nam je u zadatku dato da je [inlmath]a_1=24[/inlmath], i sada kada smo dobili da je [inlmath]8\cdot d=a_1[/inlmath], sada mozemo jednostavno ubaciti jednu jednacinu u drugu i dobiti sledecu jednakost:
[inlmath]8\cdot d=24\\
\cancel8\cdot d=\cancel{24}\\
d=3[/inlmath]
Dakle dobijamo:
[dispmath]d=3[/dispmath]
U zadatku se trazi zbir prvih [inlmath]11[/inlmath] clanova aritmetickog niza, to mozemo izracunati na vise nacina, jedno od tih jeste jednostavno primeniti formulu za sumu [inlmath]n[/inlmath] clanova koja glasi:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\cdot[2a_1+(n-1)\cdot d][/dispmath]
Pa samo onda zameniti u formuli:
[inlmath]S_{11}=\frac{11}{2}\cdot[2\cdot24+(11-1)\cdot3]\\
S_{11}=\frac{11}{2}\cdot[48+30]\\
S_{11}=\frac{11}{2}\cdot[78]\\
S_{11}=429[/inlmath]

Dakle odgovor je pod D, [inlmath]429[/inlmath].


Drugi nacin, ko ne zeli da pamti ovu formulu, je jednostavno ''rucno'' sabiranje svih [inlmath]11[/inlmath] clanova:
Kao sto smo rekli vec, svaki clan mozemo napisati kao zbir prvog clana [inlmath]a_1[/inlmath] i razlike [inlmath]d[/inlmath].
Stoga, sada kada hocemo da saberemo ceo aritmeticki niz pisemo:
[inlmath]a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}+a_{11}[/inlmath]
a to je u stvari:
[inlmath]a_1+a_1+d+a_1+2d+a_1+3d+a_1+4d+a_1+5d+a_1+6d+a_1+7d+a_1+8d+a_1+9d+a_1+10d\\
11a_1+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)d\\
11a_1+(55)d\\
11\cdot24+55\cdot3=429[/inlmath]
Dakle dobijamo isti rezultat kao i u prvom nacinu, [inlmath]429[/inlmath].
leaf  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 5 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Zadatak sa prijemnog na ETF-u 2016g. (aritmeticki i geometrijski niz)

Postod Corba248 » Petak, 26. Maj 2017, 16:25

Evo da dodam još jedan način rešavanja.
Dakle, imamo:
[dispmath]a_1+4d=a_1q\;\Longrightarrow\;4d=a_1(q-1)\\
a_1+10d=a_1q^2\;\Longrightarrow\;10d=a_1(q-1)(q+1)[/dispmath] Kada ovo podelimo dobijemo:
[dispmath]\frac{\cancelto{2}{4}\cancel{d}}{\cancelto{5}{10}\cancel{d}}=\frac{\cancel{a_1(q-1)}}{\cancel{a_1(q-1)}(q+1)}\\
\frac{2}{5}=\frac{1}{q+1}\\
2q+2=5\;\Longrightarrow\;q=\frac{3}{2}[/dispmath] Sada ne moramo računati [inlmath]d[/inlmath], potreban nam je samo poslednji član niza, a to je [inlmath]a_{11}=a_1q^2=54[/inlmath] i ostaje jedino da uvrstimo u formulu za sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza ([inlmath]S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)[/inlmath]):
[dispmath]S_{11}=\frac{11}{2}(24+54)=\frac{11}{2}\cdot78=429[/dispmath]
Moderator
 
Postovi: 312
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 348 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 09. Decembar 2019, 08:42 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs