Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Interval konvergencije

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Interval konvergencije

Postod Loophoop » Utorak, 23. Maj 2017, 11:29

Zdravo
Prvo izvinjavam se zbog loseg latex-a, uskoro cu da ga poboljsam

Imam red
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{n^2+1}[/dispmath] Nadam se da se ovako resava, preko Kosi–Adamarove teoreme
Odnosno
[dispmath]|R|=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}}[/dispmath] Pa zamenom mog opsteg clana, dobijam na kraju
[dispmath]\frac{\sqrt[n]{n^2}}{2}[/dispmath] Posto imam u zadatku da [inlmath]n[/inlmath] pocinje od [inlmath]0[/inlmath] ne znam kako ovo da resim
A s druge strane kad je [inlmath]n[/inlmath] od [inlmath]1[/inlmath] ovo je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] zar ne?
Kad je [inlmath]n[/inlmath] od [inlmath]1[/inlmath], te [inlmath]\frac{2}{n}[/inlmath] tezi [inlmath]0[/inlmath]

Moze li neki hint za ovaj zadatak?
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 23. Maj 2017, 14:27, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Interval konvergencije

Postod miki12 » Utorak, 23. Maj 2017, 14:18

Ćao Loophoop,

red je korektno zadat ( definisan je član za [inlmath]n=0[/inlmath] ) i poluprečnik konvergencije jeste [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].
Ono što te buni je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1.[/dispmath] Ovo se može dokazati primenom Štolcove teoreme. Označimo [inlmath]y_n=\sqrt[n]n[/inlmath] i posmatrajmo
[inlmath]\ln y_n=\frac{\ln n}{n}[/inlmath].
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\ln y_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)-\ln n}{n+1-n}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\ln\frac{n+1}{n}=[/dispmath][dispmath]=0.[/dispmath][dispmath]\Longrightarrow\;\lim_{n\to\infty}y_n=e^0=1.[/dispmath] Pozdrav! :)
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 23. Maj 2017, 14:45, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
miki12  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Interval konvergencije

Postod Daniel » Utorak, 23. Maj 2017, 15:04

Loophoop je napisao:[dispmath]\frac{\sqrt[n]{n^2}}{2}[/dispmath] ...
Kad je [inlmath]n[/inlmath] od [inlmath]1[/inlmath], te [inlmath]\frac{2}{n}[/inlmath] tezi [inlmath]0[/inlmath]

[inlmath]\frac{2}{n}[/inlmath] tezi [inlmath]0[/inlmath], ali istovremeno i potkorena veličina [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti, tako da ne možeš rezonovati na taj način, jer je [inlmath]\infty^0[/inlmath] neodređen izraz.
Pored načina koji ti je miki12 pokazao (preko Štolca), [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]n[/inlmath] se može rešiti i na način pokazan u ovoj temi (pod 6).

A što se tiče toga da li red kreće od nule ili od jedinice, totalno je nebitno sa stanovišta konvergencije (naravno, pod uslovom da je [inlmath]a_0[/inlmath] definisano), jer se konvergencija posmatra kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath]. Uostalom,
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{n^2+1}=\underbrace{\frac{2^0}{0^2+1}}_{\begin{matrix}\text{ovo se dobije}\\ \text{za }n=0\end{matrix}}+\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n^2+1}=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n^2+1}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Interval konvergencije

Postod Loophoop » Utorak, 23. Maj 2017, 17:48

Hvala puno obojici.
Hvala Daniele na ispravci mog posta

I sada kada znam radijus konvergencije, te pristupam trivijalno
Za levo od radijusa je konvergentan
Desno je divergentan
I ispitujem za [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]?

I posle napisem interval konvergencije
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 24. Maj 2017, 00:26, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika!
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs