Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Ispitati konvergenciju niza

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Ispitati konvergenciju niza

Postod miloskal0108997 » Sreda, 24. Maj 2017, 18:45

Pozdrav svima. Zeleo bih da uradim sledeci konfuzni zadatak:
Ispitati da li dati niz konvergira, i ako je odgovor potvrdan, ka kojoj vrednosti:
[dispmath]\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+\cdots+\frac{1}{2n^2}=x_n[/dispmath] Ono sto sam ja ustanovio, to je da je dati niz ogranicen (ocigledno je izmedju [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]). Da bih dokazao da i konvergira, treba da pokazem monotonost, ali se upravo tu nalazi problem, jer se ovi '[inlmath]n[/inlmath]-ovi' javljaju u svakom pojedinacnom clanu, i to u imeniocu.
Drugo, pokusao sam da primenim integralnu sumu na interval [inlmath][0,1][/inlmath], odnosno:
[dispmath]\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+\cdots+\frac{1}{2n^2}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath] Izraz u zagradi je Riemann-ova suma funkcije
[dispmath]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/dispmath] za izbor istaknutih tacaka
[dispmath]ξ_i=\frac{\sqrt i}{n}[/dispmath] Sada je
[dispmath]\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm dx=\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath] Dati integral je tablicni, i kad se on sracuna, rezultat je
[dispmath]\text{arctg }1=\frac{\pi}{4}[/dispmath] Kad se to ponovo podeli sa preostalim [inlmath]n[/inlmath] (koje tezi beskonacnosti), dobija se nula :think1: .
Pokusao sam da dokazem i da je Cauchy-jev (niz konvergira akko je Cauchy-jev), ali mi se ponovo javlja isti problem :?: (sto imam [inlmath]n[/inlmath] u svakom clanu niza i to u imeniocu). Izvinjavam se zbog mozda sturog teksta, ali novi sam pa tako to ide... Ako neko zna zadatak, bio bih mu zahvalan...
Poslednji put menjao Daniel dana Četvrtak, 25. Maj 2017, 00:17, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitati konvergenciju niza

Postod Daniel » Četvrtak, 25. Maj 2017, 00:29

miloskal0108997 je napisao:Izvinjavam se zbog mozda sturog teksta, ali novi sam pa tako to ide... Ako neko zna zadatak, bio bih mu zahvalan...

Sve OK, :thumbup: sasvim lepo postavljeno pitanje, doduše uneo sam neke korekcije u Latex (\cdot umesto * i slično), ali uhodaćeš se s vremenom. :)

Ideja s Riemannovom sumom funkcije je odlična, i ona (kad se pravilno primeni) vodi do tačnog rešenja, koje iznosi [inlmath]\ln2[/inlmath]. Ono što si prevideo, to je da u ovoj podeli nemamo [inlmath]n[/inlmath] podintervala, već ih imamo [inlmath]n^2[/inlmath] (jer u članu niza [inlmath]x_n[/inlmath] imamo [inlmath]n^2[/inlmath] sabiraka), što znači i da istaknute tačke neće biti [inlmath]ξ_i=\frac{\sqrt i}{n}[/inlmath] već [inlmath]ξ_i=\frac{i}{n^2}[/inlmath], kao i da funkcija za koju tražimo Riemannovu sumu neće biti [inlmath]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/inlmath], već [inlmath]f(x)=\frac{1}{1+x}[/inlmath].
Takođe, neće biti ni
miloskal0108997 je napisao:[dispmath]\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm dx=\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath]

već će biti
[dispmath]\int\limits_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath] (Osim što sam na desnu stranu dodao limes, uoči i da ispred zagrade nemamo [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] već [inlmath]\frac{1}{n^2}[/inlmath], jer rastojanje između dve susedne istaknute tačke iznosi upravo [inlmath]\frac{1}{n^2}[/inlmath].)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7867
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4185 puta

Re: Ispitati konvergenciju niza

Postod miloskal0108997 » Četvrtak, 25. Maj 2017, 08:15

Hvala na brzom odgovoru. Inace, zadatak sam pokusao da uradim prosle godine, bez predstave o integralima. Sada, kad smo uradili par primera na faxu, znao sam da ce integral resiti enigmu, ali eto, vidis, nisam obratio dovoljno paznje na 'intervalcice'. Zanimljivo je da se i nizovi
[dispmath]x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}[/dispmath] i, recimo
[dispmath]y_n=\frac{1}{n^4+1}+\frac{1}{n^4+2}+\cdots+\frac{1}{2n^4}[/dispmath] svode na istu integralnu sumu i imaju isti rezultat (jer ce se prvi podeliti na [inlmath]n[/inlmath] segmenata, a drugi na [inlmath]n^4[/inlmath], ali ce oba imati istu podintegralnu funkciju):
[dispmath]f(x)=\frac{1}{1+x}[/dispmath] koju cemo posmatrati na [inlmath][0,1][/inlmath]. Pozdrav
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 21. Februar 2020, 06:33 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs