Pozdrav svima. Zeleo bih da uradim sledeci konfuzni zadatak:
Ispitati da li dati niz konvergira, i ako je odgovor potvrdan, ka kojoj vrednosti:
[dispmath]\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+\cdots+\frac{1}{2n^2}=x_n[/dispmath] Ono sto sam ja ustanovio, to je da je dati niz ogranicen (ocigledno je izmedju [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]). Da bih dokazao da i konvergira, treba da pokazem monotonost, ali se upravo tu nalazi problem, jer se ovi '[inlmath]n[/inlmath]-ovi' javljaju u svakom pojedinacnom clanu, i to u imeniocu.
Drugo, pokusao sam da primenim integralnu sumu na interval [inlmath][0,1][/inlmath], odnosno:
[dispmath]\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+\cdots+\frac{1}{2n^2}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath] Izraz u zagradi je Riemann-ova suma funkcije
[dispmath]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/dispmath] za izbor istaknutih tacaka
[dispmath]ξ_i=\frac{\sqrt i}{n}[/dispmath] Sada je
[dispmath]\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm dx=\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath] Dati integral je tablicni, i kad se on sracuna, rezultat je
[dispmath]\text{arctg }1=\frac{\pi}{4}[/dispmath] Kad se to ponovo podeli sa preostalim [inlmath]n[/inlmath] (koje tezi beskonacnosti), dobija se nula .
Pokusao sam da dokazem i da je Cauchy-jev (niz konvergira akko je Cauchy-jev), ali mi se ponovo javlja isti problem (sto imam [inlmath]n[/inlmath] u svakom clanu niza i to u imeniocu). Izvinjavam se zbog mozda sturog teksta, ali novi sam pa tako to ide... Ako neko zna zadatak, bio bih mu zahvalan...