Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Beskonačni zbir

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Beskonačni zbir

Postod MartinaJuric » Četvrtak, 22. Jun 2017, 13:24

Izračunati beskonačni zbir:
[dispmath]\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}+\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{11}+\cdots+\sqrt{3+\sqrt8}+1+\sqrt{3-\sqrt8}+\left(\sqrt{3-\sqrt8}\right)^2+\cdots[/dispmath]
[dispmath]q=\frac{\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{11}}{\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}}=\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}[/dispmath][dispmath]S=\frac{\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}}{1-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}}=\frac{\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{13}}{\sqrt{3+\sqrt8}-1}[/dispmath][dispmath]\sqrt{3+\sqrt8}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{9-8}}{2}}+\sqrt{\frac{3-\sqrt{9-8}}{2}}=\sqrt2+1[/dispmath][dispmath]S=\frac{\left(\sqrt2+1\right)^{13}}{\sqrt2+1-1}=\frac{\left(\sqrt2+1\right)^{13}}{\sqrt2}[/dispmath] Ovo je tačno rešenje, ali kako da znam da mi [inlmath]q[/inlmath] ima sigurno tu vrednost što sam dobila? Jer da je u zadatku napisano samo ovako [inlmath]\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}+\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{11}+\cdots[/inlmath] onda bih bila 100% sigurna da se [inlmath]q[/inlmath] dobija kad se drugi član podeli sa prvim, ali ovaj zbir se ipak prekida ovim [inlmath]+\sqrt{3+\sqrt8}+1+\sqrt{3-\sqrt8}+[/inlmath], tako da mislim da sam samo imala sreće što se poklopilo rešenje...Svi ostali zadaci sa beskonačnim zbirom su postavljeni tako što piše prva 2-3 člana i posle toga tačkice, a ovde je drugačije. Nadam se da ste me razumeli :unsure:
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 70 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Beskonačni zbir

Postod Corba248 » Četvrtak, 22. Jun 2017, 14:07

MartinaJuric je napisao:ali kako da znam da mi [inlmath]q[/inlmath] ima sigurno tu vrednost što sam dobila? Jer da je u zadatku napisano samo ovako [inlmath]\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}+\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{11}+\cdots[/inlmath] onda bih bila 100% sigurna da se [inlmath]q[/inlmath] dobija kad se drugi član podeli sa prvim, ali ovaj zbir se ipak prekida ovim [inlmath]{\color{red}+\sqrt{3+\sqrt8}+1+\sqrt{3-\sqrt8}+}[/inlmath], tako da mislim da sam samo imala sreće što se poklopilo rešenje

Pošto se radi o geometrijskom nizu količnik se dobija kada se podele bilo koja dva susedna člana (zna se koji je u imeniocu, a koji u brojiocu), tako da i da su bile tri tačke opet bi dobila isto. Drugo taj zbir se nigde ne prekida. Ovo crveno uopšte ne predstavlja prekid zbira (šta god to značilo). Samo će u tom trenutku važiti [inlmath]b_1q^{12}=1[/inlmath].
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Beskonačni zbir

Postod miletrans » Četvrtak, 22. Jun 2017, 14:13

Nema nikakvog prekida. Pravilno si izračunala da je količnik niza [inlmath]\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}[/inlmath]. Znamo da svaki sledeći član dobijamo množenjem količnika i onog prethodnog. Stigli smo do [inlmath]\sqrt{3+\sqrt8}[/inlmath]. Pomnoži ga količnikom i dobićeš jedinicu. Sledeći korak malo pravimo "gimnastiku":
[dispmath]1=\sqrt1=\sqrt{9-8}=\sqrt{3^2-\left(\sqrt8\right)^2}=\sqrt{\left(3+\sqrt8\right)\left(3-\sqrt8\right)}[/dispmath] Pošto su obe potkorene veličine nenegativne, smemo da "razdvojimo" dva korena, pa pomnožimo količnikom, i tačno dobiješ ovaj član iza jedinice.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Beskonačni zbir

Postod Daniel » Četvrtak, 22. Jun 2017, 14:14

@Martina, možda tebe zbunjuje to što za članove pre jedinice važi [inlmath]\displaystyle q=\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}[/inlmath], dok za članove nakon jedinice važi [inlmath]q=\sqrt{3-\sqrt8}[/inlmath].
Ali, zapravo, [inlmath]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}[/inlmath] je jednako [inlmath]\sqrt{3-\sqrt8}[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{3+\sqrt8}\cdot\sqrt{3-\sqrt8}=\sqrt{\left(3+\sqrt8\right)\left(3-\sqrt8\right)}=\sqrt{9-8}=1\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}=\sqrt{3-\sqrt8}[/dispmath]
EDIT: miletrans je bio brži. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Beskonačni zbir

Postod MartinaJuric » Četvrtak, 22. Jun 2017, 14:27

Daa, to me je bunilo, hvala @Daniel i @miletrans, nego nisam znala baš kako da se izrazim, pa sam napisala ''prekid'' :lol:
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 70 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 36 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs