Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Nepoznata je suma

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Nepoznata je suma

Postod Nađa » Nedelja, 25. Jun 2017, 19:25

Cemu je jednaka suma [inlmath]1+2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\cdots+(n+1)\cdot 2^n[/inlmath] gde je [inlmath]n\ge3[/inlmath]
Stvarno ne znam kako da resim ovaj zadatak :wtf:
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Nepoznata je suma

Postod Corba248 » Nedelja, 25. Jun 2017, 20:20

Ja poznajem jedan metod rešavanja ovakvih problema, ali nisam siguran da je za srednju školu. Možda postoji neko jednostavnije rešenje jer pretpostavljam da ti je ovaj zadatak potreban za prijemni.
Evo mog rešenja. Prvo posmatrajmo geometrijski red:
[dispmath]1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}[/dispmath] Već bismo ovde mogli prodiskutovati, ali verujem da je sve jasno. Jedino treba voditi računa o tome da ovaj niz ima [inlmath]n+2[/inlmath] članova.
Sada ćemo naći prvi izvod ovog reda (i leve i desne strane jednakosti):
[dispmath]0+1+2x+3x^2+\cdots+(n+1)x^n=\frac{1-x^{n+2}}{\left(1-x\right)^2}-\frac{\left(n+2\right)x^{n+1}}{1-x}[/dispmath] Primetimo da je leva strana jednakosti upravo jednaka traženoj sumi za [inlmath]x=2[/inlmath]. Ako uvrstimo [inlmath]x=2[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]1+2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\cdots+(n+1)\cdot2^n=1-2^{n+2}+(n+2)2^{n+1}[/dispmath]
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Nepoznata je suma

Postod Nađa » Nedelja, 25. Jun 2017, 20:22

Wow, hvala puno :D
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Re: Nepoznata je suma

Postod Corba248 » Nedelja, 25. Jun 2017, 20:24

Šta piše u rešenju (ako ga imaš)?
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Nepoznata je suma

Postod Nađa » Nedelja, 25. Jun 2017, 20:32

Da to je resenje :)
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

  • +1

Re: Nepoznata je suma

Postod Daniel » Petak, 30. Jun 2017, 23:01

Corba248 je napisao:[dispmath]\cdots=1-2^{n+2}+(n+2)2^{n+1}[/dispmath]

I dobro, sad se to još malko dâ skockati,
[dispmath]\cdots=1-2\cdot2^{n+1}+(n+2)2^{n+1}=1+(-\cancel2+n+\cancel2)2^{n+1}=\enclose{box}{1+n\cdot2^{n+1}}[/dispmath]


Evo još jednog načina. Datu sumu obeležimo sa [inlmath]S_n[/inlmath]:
[dispmath]S_n=1+2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^{n-1}+(n+1)\cdot 2^n[/dispmath] Napišemo sada sumu [inlmath]2S_n[/inlmath]:
[dispmath]2S_n=2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+4\cdot2^4+\cdots+n\cdot2^n+(n+1)\cdot 2^{n+1}[/dispmath] Od [inlmath]2S_n[/inlmath] oduzmemo [inlmath]S_n[/inlmath] (čime ćemo, razume se, opet dobiti sumu [inlmath]S_n[/inlmath]):
[dispmath]2S_n-S_n=-1+(1-2)\cdot2+(2-3)\cdot2^2+(3-4)\cdot2^3+\cdots+\bigl(n-(n+1)\bigr)\cdot2^n+(n+1)\cdot2^{n+1}\\
S_n=-1-2-2^2-2^3-\cdots-2^n+(n+1)\cdot2^{n+1}\\
S_n=-\underbrace{\left(1+2+2^2+2^3+\cdots+2^n\right)}_{\displaystyle\frac{1-2^{n+1}}{1-2}}+(n+1)\cdot2^{n+1}[/dispmath] Dalje je lako.


Nađa je napisao:Da to je resenje :)

Tačka 11. Pravilnika!
11.
...Takođe, ako imate krajnji rezultat koji treba da se dobije, napišite i njega.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 46 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:58 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs