Pozdrav svima .....
Dat je red [inlmath]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n[/inlmath] gde je [inlmath]a_n[/inlmath] opsti clan aritmetickog niza a [inlmath]b_n[/inlmath] opsti clan geometrijskog niza. Utvrditi kriterijum za konvergenciju datog reda.
Razmatranje:
Red je konvergentan ako i samo ako je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S[/inlmath], gde je [inlmath]S[/inlmath] realan broj.
Da bi odredili [inlmath]S_n[/inlmath] napisemo ga u razvijenom obliku:
[inlmath](1)\quad S_n=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n[/inlmath]
Mnozenjem [inlmath](1)[/inlmath] sa kolicnikom [inlmath]q[/inlmath] geometrijskog niza dobije se:
[inlmath](2)\quad qS_n=a_1b_1q+a_2b_2q+a_3b_3q+\cdots+a_nb_nq[/inlmath]
Ako iskoristimo definiciju geometrijskog niza [inlmath](2)[/inlmath] postaje:
[inlmath](3)\quad qS_n=a_1b_2+a_2b_3+a_3b_4+\cdots+a_nb_{n+1}[/inlmath]
Tada je razlika [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](3)[/inlmath]:
[inlmath]S_n-qS_n=a_1b_1+b_2(a_2-a_1)+b_3(a_3-a_2)+\cdots+b_n(a_n-a_{n-1})-a_nb_{n+1}[/inlmath]
Ako se iskoristi definicija aritmetickog niza prethodna jednacina postaje:
[dispmath]S_n(1-q)=a_1b_1+d(b_2+b_3+\cdots+b_n)-a_nb_{n+1}\iff[/dispmath][dispmath]S_n(1-q)=a_1b_1+d\frac{b_1q\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}-\bigl(a_1+(n-1)d\bigr)\cdot b_1q^n\iff[/dispmath][dispmath]S_n=\frac{a_1b_1-\bigl(a_1+(n-1)d\bigr)b_1q^n}{1-q}+\frac{b_1dq\left(1-q^n\right)}{(1-q)^2}[/dispmath] Kako je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_1b_1-\bigl(a_1+(n-1)d\bigr)b_1q^n}{1-q}+\lim_{n\to\infty}\frac{b_1dq\left(1-q^n\right)}{(1-q)^2}=\frac{a_1b_1}{1-q}+\frac{b_1dq}{(1-q)^2}=S[/dispmath] [inlmath]S[/inlmath] je realan broj jer je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0[/inlmath] ako je [inlmath]\left|q\right|<1[/inlmath].
Dakle, dati red konvergira pod istim uslovima kao i geometrijski red tj, [inlmath]-1<q<1[/inlmath]