Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Kriterijum za konvergenciju reda

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]
  • +1

Kriterijum za konvergenciju reda

Postod kazinski » Utorak, 18. Jul 2017, 15:28

Pozdrav svima ..... :thumbup:
Dat je red [inlmath]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n[/inlmath] gde je [inlmath]a_n[/inlmath] opsti clan aritmetickog niza a [inlmath]b_n[/inlmath] opsti clan geometrijskog niza. Utvrditi kriterijum za konvergenciju datog reda.

Razmatranje:
Red je konvergentan ako i samo ako je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S[/inlmath], gde je [inlmath]S[/inlmath] realan broj.
Da bi odredili [inlmath]S_n[/inlmath] napisemo ga u razvijenom obliku:
[inlmath](1)\quad S_n=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n[/inlmath]
Mnozenjem [inlmath](1)[/inlmath] sa kolicnikom [inlmath]q[/inlmath] geometrijskog niza dobije se:
[inlmath](2)\quad qS_n=a_1b_1q+a_2b_2q+a_3b_3q+\cdots+a_nb_nq[/inlmath]
Ako iskoristimo definiciju geometrijskog niza [inlmath](2)[/inlmath] postaje:
[inlmath](3)\quad qS_n=a_1b_2+a_2b_3+a_3b_4+\cdots+a_nb_{n+1}[/inlmath]
Tada je razlika [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](3)[/inlmath]:
[inlmath]S_n-qS_n=a_1b_1+b_2(a_2-a_1)+b_3(a_3-a_2)+\cdots+b_n(a_n-a_{n-1})-a_nb_{n+1}[/inlmath]
Ako se iskoristi definicija aritmetickog niza prethodna jednacina postaje:
[dispmath]S_n(1-q)=a_1b_1+d(b_2+b_3+\cdots+b_n)-a_nb_{n+1}\iff[/dispmath][dispmath]S_n(1-q)=a_1b_1+d\frac{b_1q\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}-\bigl(a_1+(n-1)d\bigr)\cdot b_1q^n\iff[/dispmath][dispmath]S_n=\frac{a_1b_1-\bigl(a_1+(n-1)d\bigr)b_1q^n}{1-q}+\frac{b_1dq\left(1-q^n\right)}{(1-q)^2}[/dispmath] Kako je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_1b_1-\bigl(a_1+(n-1)d\bigr)b_1q^n}{1-q}+\lim_{n\to\infty}\frac{b_1dq\left(1-q^n\right)}{(1-q)^2}=\frac{a_1b_1}{1-q}+\frac{b_1dq}{(1-q)^2}=S[/dispmath] [inlmath]S[/inlmath] je realan broj jer je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0[/inlmath] ako je [inlmath]\left|q\right|<1[/inlmath].
Dakle, dati red konvergira pod istim uslovima kao i geometrijski red tj, [inlmath]-1<q<1[/inlmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 18 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Kriterijum za konvergenciju reda

Postod Daniel » Četvrtak, 20. Jul 2017, 14:05

Postupak je korektan, uz samo dve opaske,
kazinski je napisao:Kako je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_1b_1-\bigl(a_1+(n-1)d\bigr)b_1q^n}{1-q}+\lim_{n\to\infty}\frac{b_1dq\left(1-q^n\right)}{(1-q)^2}\;{\color{red}=}\;\frac{a_1b_1}{1-q}+\frac{b_1dq}{(1-q)^2}=S[/dispmath] [inlmath]S[/inlmath] je realan broj jer je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0[/inlmath] ako je [inlmath]\left|q\right|<1[/inlmath].

Pojasnio bih, za slučaj da nekom ne bude najjasnije – prilikom pisanja ove crveno obeležene jednakosti podrazumevalo se da je ispunjen uslov [inlmath]|q|<1[/inlmath] (koji je tek nakon toga napisan). Da taj uslov nije ispunjen, jednakost ne bi važila.

I, u drugom limesu umesto [inlmath]\left(1-q^n\right)[/inlmath] treba da stoji [inlmath]\left(1-q^{n-1}\right)[/inlmath], mada to ne utiče na vrednost limesa, jer za [inlmath]|q|<1[/inlmath] i jedan i drugi faktor teže jedinici.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:31 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs