11. zadatak
U aritmetičkoj progresiji poznati su članovi [inlmath]a_{54}=\alpha[/inlmath] i [inlmath]a_{70}=\beta[/inlmath], [inlmath](\alpha,\beta\in\mathbb{R},\;\alpha\ne\beta)[/inlmath]. Tada je zbir prvih [inlmath]160[/inlmath] članova te progresije jednak:
Primetila sam da ovaj zadatak nije rešen. Možda nekome zatreba u godinama koje dolaze, pa ću probati da ga objasnim.
Poznato nam je da je:
[dispmath]a_{54}=\alpha[/dispmath][dispmath]a_{70}=\beta[/dispmath] Traži se zbir prvih [inlmath]160[/inlmath] članova aritmetičke progresije čiji su ovo članovi.
Formula za zbir (sumu) aritmetičke progresije u opštem slučaju glasi:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\cdot(2a_1+(n-1)\cdot d)[/dispmath] Koristeći podatak da je reč o zbiru prvih [inlmath]160[/inlmath] članova (tj. [inlmath]n=160[/inlmath]), dobijamo sledeću formulu:
[dispmath]S_{160}=80\cdot(2a_1+159\cdot d)[/dispmath] Dakle, zaključujemo da sumu moramo umesto preko [inlmath]2a_1[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] da izrazimo preko [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath]. Do ovih veza doći ćemo tako što ćemo staviti u pogon znanje o definiciji člana aritmetičkog niza. U opštem slučaju formula glasi:
[dispmath]a_n=a_1+(n-1)\cdot d[/dispmath]
Za [inlmath]a_{54}[/inlmath] imamo da je [inlmath]a_1+53d=\alpha[/inlmath].
Za [inlmath]a_{70}[/inlmath] imamo da je [inlmath]a_1+69d=\beta[/inlmath].
Za [inlmath]a_{70}[/inlmath] imamo da je [inlmath]a_1+69d=\beta[/inlmath].
Naziremo da formiranjem dva sistema možemo doći do neophodnih [inlmath]2a_1[/inlmath] (sabiranjem ovih dveju jednačina) i [inlmath]d[/inlmath] (njihovim oduzimanjem).
U slučaju oduzimanja dobijamo:
[dispmath]a_1+53d=\alpha[/dispmath][dispmath]\underline{-a_1-69d=-\beta}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{d=\frac{\beta-\alpha}{16}}[/dispmath] Sada možemo da se bacimo na slučaj sabiranja, gde će nam (osim prilikom samog izražavanja sume) informacija o diferenciji biti korisna da dođemo do [inlmath]2a_1[/inlmath].
[dispmath]a_1+53d=\alpha[/dispmath][dispmath]\underline{a_1+69d=\beta}[/dispmath][dispmath]2a_1+122d=\alpha+\beta[/dispmath][dispmath]2a_1=\alpha+\beta-\cancel{122}\cdot\frac{\beta-\alpha}{\cancel{16}}[/dispmath][dispmath]2a_1=\frac{8\alpha+8\beta+61\alpha-61\beta}{8}[/dispmath] Ne skraćujemo [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]8[/inlmath] nikako, jer nam se [inlmath]2a_1[/inlmath] traži, pa nam se isplati da idemo direktno na njega.
[dispmath]\enclose{box}{2a_1=\frac{69\alpha-53\beta}{8}}[/dispmath] Konačno, sa prikupljenim podacima vraćamo se u prvobitno formiranu jednačinu sume:
[dispmath]S_{160}=80\cdot(2a_1+159\cdot d)[/dispmath][dispmath]S_{160}=80\cdot\frac{138\alpha-106\beta+159\beta-159\alpha}{16}[/dispmath][dispmath]S_{160}=\cancel{80}\cdot\frac{-21\alpha+53\beta}{\cancel{16}}[/dispmath][dispmath]\Large\enclose{box}{S_{160}=5\cdot(-21\alpha+53\beta)}[/dispmath]
Zadatak uspešno gotov!
Vi koji se budete pripremali, samo hrabro!