Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Skup članova aritmetičkog niza – dokaz, Zadatak iz Tangente

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]
  • +1

Skup članova aritmetičkog niza – dokaz, Zadatak iz Tangente

Postod Igor » Utorak, 19. Septembar 2017, 14:55

[inlmath]\color{blue}Zadatak:[/inlmath] Neka je [inlmath]A[/inlmath] skup članova aritmetičkog niza [inlmath]1,4,7,\ldots,100[/inlmath]. Dokazati da, bez obzira na to kojih [inlmath]19[/inlmath] brojeva izaberemo iz skupa [inlmath]A[/inlmath], postoji sigurno par brojeva čiji je zbir [inlmath]104[/inlmath].

[inlmath]\color{blue}\mbox{Način na koji sam ja dokazao:}[/inlmath]

Kako je niz [inlmath]A[/inlmath] aritmetički, to je [inlmath]d=3[/inlmath], a [inlmath]a_1=1[/inlmath]. Iz formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član aritmetičkog niza [inlmath]a_n=a_1+(n-1)d[/inlmath] lako se dobija [inlmath]n[/inlmath], tj. broj članova niza [inlmath]A[/inlmath].

[inlmath]d=3[/inlmath], [inlmath]a_1=1[/inlmath], [inlmath]a_n=100[/inlmath]
[dispmath]a_n=a_1+(n-1)d[/dispmath][dispmath]99=3(n-1)[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{n=34}[/dispmath] Dakle niz [inlmath]A[/inlmath] ima [inlmath]34[/inlmath] člana.

Parovi koji daju zbir [inlmath]104[/inlmath] su: [inlmath]a_2+a_{34}[/inlmath] (tj. [inlmath]4+100[/inlmath]), [inlmath]a_3+a_{33}[/inlmath], [inlmath]a_4+a_{32}[/inlmath], itd.
Kako prvi član niza ([inlmath]a_1=1[/inlmath]) ne učestvuje u ovom sparivanju (jer [inlmath]103[/inlmath] nije član niza [inlmath]A[/inlmath]), to članova koji učestvuju u sparivanju ima [inlmath]33[/inlmath]. A [inlmath]18.[/inlmath] član niza ([inlmath]a_{18}[/inlmath]) nema svog para, jer bi to bio on sam ([inlmath]a_{18}=1+3\cdot17=52[/inlmath]). Sledi da parova ima [inlmath]16[/inlmath] ([inlmath]a_2+a_{34},\;a_3+a_{33},\;a_4+a_{32},\;\ldots,\;a_{17}+a_{19}[/inlmath]).
Da bismo dokazali da bez obzira na to kojih [inlmath]19[/inlmath] brojeva izaberemo iz niza [inlmath]A[/inlmath], postoji sigurno par brojeva čiji je zbir [inlmath]104[/inlmath], uzimamo „najnepovoljniji“ slučaj.
Pretpostavimo da smo od [inlmath]19[/inlmath] brojeva izabrali [inlmath]16[/inlmath] koji ne grade parove sa zbirom [inlmath]104[/inlmath] ([inlmath]a_2,a_3,\ldots,a_{17}[/inlmath]). Ostaje nam da izaberemo još [inlmath]3[/inlmath]. Da bi slučaj bio „najnepovoljniji“ to su [inlmath]a_1=1[/inlmath], koji ne gradi par, i već pomenuti [inlmath]a_{18}=52[/inlmath], koji nema svog para. To je ukupno [inlmath]16+2=18[/inlmath] izabranih članova, pa ostaje da izaberemo još jedan. Međutim, jedini preostali članovi su [inlmath]a_{19},a_{18},\ldots,a_{34}[/inlmath]. Koji god od njih da izaberemo, sa nekim od članova [inlmath]a_2,a_3,\ldots,a_{17}[/inlmath] će dati u zbiru [inlmath]104[/inlmath].
Time je dokazano da, bez obzira na to kojih [inlmath]19[/inlmath] brojeva izaberemo iz skupa [inlmath]A[/inlmath], postoji sigurno par brojeva čiji je zbir [inlmath]104[/inlmath].


Tekst zadatka je preuzet iz matematičkog časopisa Tangente (broj: [inlmath]83/3[/inlmath], godina: [inlmath]2015/16.[/inlmath]), a ja sam autor rešenja, koje sam hteo da podelim sa vama :). Čini mi se da je zanimljiv zadatak. Ako neko ima drugu ideju za dokaz, kao i komentar ili pitanje u vezi mog načina, može da napiše :D.
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 76 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 27 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:25 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs