Evo i drugog nacina
Oslanjajuci se na sljedeci tablicni red:
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}x^{2n+1}=\text{arcsinh}(x)[/dispmath] Posmatrajmo red:
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}[/dispmath] Recimo da je suma tog reda [inlmath]S(x)[/inlmath]
Lako je vidjeti da je prvi clan u ovom redu [inlmath]1[/inlmath], pa ako oduzmemo i dodamo jedan mozemo smanjiti indeks posmatranog reda za jedan.
Sada je
[dispmath]S(x)=-1+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}[/dispmath] Ovaj dobijeni red proglasimo drugom sumom, tj. funkcijom.
Obzirom da je [inlmath]\text{arcsinh}[/inlmath] neprekidna funkcija i da je red na intervalu od [inlmath]-1,1[/inlmath] uniformno konvergentan.
Mozemo ga integraliti, pa vazi sljedece:
[dispmath]S(x)=-1+S_1(x)[/dispmath][dispmath]\int S_1(x)=\int\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}[/dispmath][dispmath]\int S_1(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}x^{2n+1}[/dispmath] Sa desne strane smo dobili tablicni oblik [inlmath]\text{arscinh}(x)[/inlmath].
[dispmath]\int S_1(x)=\text{arcsinh}(x)[/dispmath] Diferencirano jer nam treba [inlmath]S_1(x)[/inlmath].
[dispmath]S_1(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/dispmath] Kada se vratimo u gornju smjenu:
[dispmath]S(x)=-1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/dispmath] A suma naseg numerickog reda je prakticno suma naseg dobijenog reda za [inlmath]x=1[/inlmath] odnosno [inlmath]x=-1[/inlmath] zbog kvadrata i prirode dobijenog rjesenja.
Pa je konacna suma:
[dispmath]S(x)=-1+\frac{1}{\sqrt2}[/dispmath]