Odmah moram da kažem da nemam zasad neku jasnu ideju za rešavanje, ali zadatak je vrlo zanimljiv i s velikim zadovoljstvom ću razmisliti kako bi se mogao rešiti. Zasad bih prokomentarisao ovo što je već napisano. Iz pomenutog uslova [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}[/inlmath] možemo dobiti čemu je limes jednak
u slučaju da on postoji. Međutim, time nismo dokazali postojanje limesa. Pojasnio bih to na primeru rekurentnog niza [inlmath]a_n=-a_{n-1}[/inlmath]. Ako bismo njegov limes tražili tako što bismo napisali [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}[/inlmath], dobili bismo da je taj limes jednak nuli. I to bi bilo tačno ako bi bilo [inlmath]a_1=0[/inlmath]. Međutim, ako je [inlmath]a_1[/inlmath] bilo koji broj različit od nule, recimo neka je [inlmath]a_1=1[/inlmath], tada bi se niz sastojao naizmenično od vrednosti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath], tako da limes ne bi postojao.
Slična stvar je i s ovim nizom, potrebno je dokazati da taj niz konvergira, a kad se to dokaže (tj.
ako se dokaže), tada važi račun koji je Corba248 pokazao.
Niz nije ni monoton (lako je naći kontraprimere), a ni ograničen. Ograničen nije, jer ma koliko veliki broj [inlmath]M[/inlmath] da mi zadate, ja uvek mogu naći takvo [inlmath]\varphi>\text{arctg }M[/inlmath] da [inlmath]\text{tg }\varphi[/inlmath] bude veće od [inlmath]M[/inlmath], tj. da bude [inlmath]a_1>M[/inlmath]. Isto tako, mogu naći i [inlmath]\varphi[/inlmath] takvo da [inlmath]\text{tg }\varphi[/inlmath], tj. [inlmath]a_1[/inlmath], bude takvo da [inlmath]a_2[/inlmath] bude veće od [inlmath]M[/inlmath] itd. itd.
Međutim, ovo ipak ne znači da zadati niz ne može biti konvergentan – štaviše, možda je niz monoton i/ili ograničen počev od nekog svog člana pa nadalje...
Takođe, kao što je već rečeno, limes ne postoji za [inlmath]\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], ali ne postoji ni za [inlmath]\varphi=\text{arctg}\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)+l\pi[/inlmath], jer je tada [inlmath]a_1=\text{tg }\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], pa [inlmath]a_2=\text{tg }a_1[/inlmath] neće biti definisano (a samim tim ni naredni članovi); isto tako se mogu naći vrednosti [inlmath]\varphi[/inlmath] za koje [inlmath]a_3[/inlmath] neće biti definisano itd. itd...