Zdravo! Imam problema sa sledećim zadatkom:
Razviti u stepeni red funkciju [inlmath]f(x)=\arctan x[/inlmath].
Evo šta sam ja uspeo da uradim:
Imamo da vazi sledeći stav:
Funkcija se moze predstaviti redom [inlmath]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/inlmath] na intervalu [inlmath]I=(x_0-r,\;x_0+r)[/inlmath], [inlmath]r>0[/inlmath], akko je [inlmath]f[/inlmath] beskonačno diferencijabilna na intervalu [inlmath]I[/inlmath] i ostatak [inlmath]R_n(x)[/inlmath] u Tejlorovoj formuli [inlmath]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)[/inlmath] tezi nuli za [inlmath]\forall x\in I[/inlmath], kad [inlmath]n\longrightarrow\infty[/inlmath].
Dakle, ja sam uradio sledeće korake:
1) Odredio sam interval na kome ću predstaviti funkciju pomoću stepenog reda. U ovom slučaju očigledno treba predstaviti funkciju na celom njenom domenu, a to je [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Pošto nam treba i [inlmath]x_0[/inlmath] uzeo sam da je [inlmath]x_0=0[/inlmath].
2) Sada treba utvrditi da li je funkcija beskonačno diferencijabilna na celom [inlmath]I=\mathbb{R}[/inlmath]. Očigledno da jeste.
3) Sada treba ispitati da li je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x)=0[/inlmath], za [inlmath]\forall x\in I[/inlmath]. Kako je [inlmath]a=x_0=0[/inlmath], to se Tejlorova formula pretvara u Maklorenovu.
Sad, ja stvarno ne znam koji oblik ostatka da koristim. Znam za Šlemilh-Rošov, Lagranzov, Košijev i Peanov.
Peanov otpada, jer je funkcija beskonačno diferencijabilna.
U definiciji Maklorenove formule, navodi se da je ostatak ili Lagranzovog ili Košijevog oblika. Oni su i jedan i drugi samo pojednostavljen Šlemilh-Rošov oblik ostatka, ali ja ne vidim zašto bi ih koristili u ovom slučaju.
Koristeći, Šlemilh-Rošov oblik ostatka dobio sam da treba da nađem sledeću graničnu vrednost: [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{x}{x-\xi}\right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{p\cdot n!}f^{(n+1)}(\xi)[/inlmath]
Dakle, do ovde sam došao i dalje ne znam.
Molim vas, ako mozete da mi kazete gde grešim?
P.S. Moze se primetiti da nemam slovo na tastaturi.