Ojbasnjenje oznake za sumu (aritmeticki niz – prijemni MATF 2015.)

PostPoslato: Utorak, 26. Jun 2018, 20:46
od diopo
Dat je aritmetički niz [inlmath]a_1,a_2,a_3,\ldots[/inlmath]. Ako je [inlmath]a_1=3[/inlmath], [inlmath]a_n=136[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=1390[/inlmath], koliko je [inlmath]a_2[/inlmath]?

Kao prvo izvinjavam se ako ima gresaka jer kucam sa telefona. Inace prvi put vidim ovaj izraz koji se valjda cita kao suma? Moze li neko da mi objasni kako se radi ovo, konkretno oa suma.. sta je ovo [inlmath]k[/inlmath], sta je [inlmath]n[/inlmath].. nista ne razumem

Re: Ojbasnjenje oznake za sumu (aritmeticki niz – prijemni MATF 2015.)

PostPoslato: Utorak, 26. Jun 2018, 21:19
od Corba248
Možda će ti pomoći to što se izraz čita "Suma od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath]" (sa korakom [inlmath]1[/inlmath]). [inlmath]k[/inlmath] se često naziva brojač. Ništa spektakularno, samo kraći zapis zbira. Dakle, umesto [inlmath]k[/inlmath] redom menjaš brojeve od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] i sabiraš.
Možda ti je lakše na primeru, [inlmath]\displaystyle\sum_{k=1}^nk=1+2+3+\cdots+n[/inlmath] ili tvoj primer [inlmath]\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n[/inlmath] (naravno, ne mora ići od [inlmath]1[/inlmath]).

Re: Ojbasnjenje oznake za sumu (aritmeticki niz – prijemni MATF 2015.)

PostPoslato: Utorak, 26. Jun 2018, 21:22
od Daniel
Corba248 je upravo odgovorio, al' kad već sve ovo napisah, nek bude tu i ovo moje pisanije, da se ne baci. :)
Da, to je suma. Oznaka za sumu znači sledeće: [inlmath]\displaystyle\sum_{k=m}^na_k=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n[/inlmath]. U tvom primeru [inlmath]m=1[/inlmath]. Npr:
[dispmath]\sum_{k=1}^{20}3^k=3^1+3^2+3^3+\cdots+3^{19}+3^{20}\\
\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{4\cdot5}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{(n-1)n}+(-1)^{n-1}\frac{1}{n(n+1)}[/dispmath] Ili, razvoj stepena binoma (koji dosta pominjasmo proteklih dana):
[dispmath](a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k={n\choose0}a^nb^0+{n\choose1}a^{n-1}b^1+{n\choose2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n-1}a^1b^{n-1}+{n\choose n}a^0b^n[/dispmath] Dakle, primetićeš da kad se razvije taj izraz za sumu, u tom razvijenom izrazu ti ne figuriše [inlmath]k[/inlmath] – to je samo, da tako kažem, „promenljiva“ koja u svakom sabirku sume poprima drugu vrednost (za jedan veću u odnosu na vrednost u prethodnom sabirku).
Susretaćeš i oznaku za proizvod, koja je potpuno analogna oznaci za sumu: [inlmath]\displaystyle\prod_{k=m}^na_k=a_m\cdot a_{m+1}\cdot a_{m+2}\cdots a_{n-2}\cdot a_{n-1}\cdot a_n[/inlmath].

Re: Ojbasnjenje oznake za sumu (aritmeticki niz – prijemni MATF 2015.)

PostPoslato: Utorak, 26. Jun 2018, 21:38
od diopo
Hvala puno. Odsekao sam se kad sam video to na MATFu, mislio sam da je to neka viša matematika. :D

Re: Ojbasnjenje oznake za sumu (aritmeticki niz – prijemni MATF 2015.)

PostPoslato: Utorak, 26. Jun 2018, 21:44
od Daniel
Evo ti još dva zanimljiva primera. :)
[dispmath]\prod_{k=4}^{27}7^k=7^{\large\sum\limits_{k=4}^{27}k}\\
\sum_{k=1}^{20}\log_5k=\log_5\prod_{k=1}^{20}k[/dispmath]

Re: Ojbasnjenje oznake za sumu (aritmeticki niz – prijemni MATF 2015.)

PostPoslato: Utorak, 26. Jun 2018, 22:15
od diopo
Ovo su kao neke osobine ili?

Re: Ojbasnjenje oznake za sumu (aritmeticki niz – prijemni MATF 2015.)

PostPoslato: Utorak, 26. Jun 2018, 22:20
od Daniel
Osobine stepenovanja ([inlmath]a^b\cdot a^c=a^{b+c}[/inlmath]) i osobine logaritama ([inlmath]\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)[/inlmath], [inlmath]a,b,c>0[/inlmath], [inlmath]a\ne1[/inlmath]).