Drugi član geometrijske progresije – prijemni ETF 2018.

PostPoslato: Sreda, 04. Jul 2018, 12:29
od PantaRei
Prijemni ispit ETF - 25. jun 2018.
14. zadatak


14. Prva dva člana rastuće geometrijske progresije su rešenja jednačine
[dispmath]\frac{2^{2\cdot\sin x}}{1+2^{2\cdot\sin x}}=1-\frac{3-2^{2\cdot\sin x}}{5-2^{2\cdot\sin x}}[/dispmath] na intervalu [inlmath](0,\pi)[/inlmath]. Ako je zbir ove progresije [inlmath]651\pi[/inlmath], tada je ukupan broj njenih članova jednak:
Tačan odgovor: [inlmath]6[/inlmath]

Evo kako sam ja pokušala da rešim ovaj zadatak:

Uvela sam smenu:
[dispmath]t=2^{2\cdot\sin x}[/dispmath] Dakle,
[dispmath]\frac{t}{1+t}=1-\frac{3-t}{5-t}\\
\frac{t}{1+t}=\frac{2}{5-t}\\
5\cdot t-t^2=2+2\cdot t[/dispmath] Dobijem kvadratnu jednačinu:
[dispmath]t^2-3\cdot t+2=0[/dispmath] Njena rešenja su
[dispmath]t=2\quad\lor\quad t=1[/dispmath]
[dispmath]2^{2\cdot\sin x}=2\\
2\cdot\sin x=1\\
\sin x=\frac{1}{2}[/dispmath] Na intervalu [dispmath](0,\pi)[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{6}[/dispmath]
A drugo rešenje ne spada u dati interval:
[dispmath]2^{2\cdot\sin x}=1\\
2\cdot\sin x=2^0\\
\sin x=0\\
x=\pi\quad\lor\quad0[/dispmath] što su, u stvari, granice intervala.

Međutim, potrebna su mi oba rešenja da bih izračunala količnik niza i odredila broj njegovih članova. Dakle, negde grešim u postupku zacelo. :D

Da li biste mogli da mi ukažete na tu grešku?

PS Nadam se da nisam previše zabrljala sa Latexom, prvi put ga koristim. :)

Re: Drugi član geometrijske progresije – prijemni ETF 2018.

PostPoslato: Sreda, 04. Jul 2018, 12:42
od bobanex
[inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath] ti je drugo rešenje.

Re: Drugi član geometrijske progresije – prijemni ETF 2018.

PostPoslato: Sreda, 04. Jul 2018, 12:48
od PantaRei
To znači da [inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] ima dva rešenja. U redu, razumem sad.

Hvala!

Re: Drugi član geometrijske progresije – prijemni ETF 2018.

PostPoslato: Sreda, 04. Jul 2018, 14:48
od Daniel
PantaRei je napisao:PS Nadam se da nisam previše zabrljala sa Latexom, prvi put ga koristim. :)

Sasvim OK. :thumbup: Uneo sam neke sitnije ispravke (umesto sinx treba \sin x).

PantaRei je napisao:[dispmath]2^{2\cdot\sin x}=1\\
2\cdot\sin x=2^0\\
\sin x=0[/dispmath]

Ovde je greščica u koraku [inlmath]2\sin x=2^0[/inlmath], koji treba zapravo da glasi [inlmath]2\sin x=0[/inlmath]. Verovatno je greška u kucanju, jer sledeći korak ti je dobar, [inlmath]\sin x=0[/inlmath].
(Nije ti neophodna oznaka [inlmath]\cdot[/inlmath] za množenje. Znači, sasvim je dovoljno pisati [inlmath]2\sin x[/inlmath]. Naravno, nije greška pisati ni [inlmath]2\cdot\sin x[/inlmath], ali ti je ovako lakše, jer se [inlmath]\cdot[/inlmath] podrazumeva.)

PantaRei je napisao:To znači da [inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] ima dva rešenja.

Da, ima dva rešenja, što zaključuješ na potpuno isti način na koji si zaključila i da [inlmath]\sin x=0[/inlmath] ima rešenja na granicama intervala ([inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath]). Znači, nacrtaš ili zamisliš trigonometrijsku kružnicu i gledaš za koje će vrednosti uglova u intervalu [inlmath](0,\pi)[/inlmath] („gornji“ deo kružnice), projekcija na [inlmath]y[/inlmath]-osu (tj. sinus) iznositi [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. To će važiti za dva ugla – jedan u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu, [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], i jedan u [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu, [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath].

Re: Drugi član geometrijske progresije – prijemni ETF 2018.

PostPoslato: Sreda, 04. Jul 2018, 15:50
od PantaRei
Sada mi je potpuno jasan i taj detalj.
Srdačno hvala!