Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

"Teorijski zadatak" – ekvikonvergentni redovi

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

"Teorijski zadatak" – ekvikonvergentni redovi

Postod Igor » Sreda, 15. Avgust 2018, 15:59

Zadatak: Dat je niz [inlmath]a_n[/inlmath] pozitivnih realnih brojeva i red
[dispmath]a_1+a_2+\cdots+a_{p_2-1}-a_{p_2}-a_{p_2+1}-\cdots-a_{p_3-1}+a_{p_3}+\cdots[/dispmath] gde je [inlmath](p_n),\;n\in\mathbb{N}[/inlmath], strogo rastući niz prirodnih brojeva, takav da je [inlmath]p_1=1[/inlmath]. Dokazati da je gore navedeni red ekvikonvergentan sa redom [inlmath]\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\sum\limits_{j=p_n}^{p_{n+1}-1}a_j[/inlmath].

Zaista ne znam na koji način bih uradio ovaj zadatak, malo mi je komplikovana i sama postavka zadatka. Pokušao sam nešto preko Košijevog kriterijuma, ali ne ide, zaista nemam ideju :?
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 71 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: "Teorijski zadatak" – ekvikonvergentni redovi

Postod Corba248 » Četvrtak, 16. Avgust 2018, 00:56

Igor je napisao:Zadatak: Dat je niz [inlmath]a_n[/inlmath] pozitivnih realnih brojeva...

Možda je ovo cepidlačenje, ali trebalo bi niz označiti kao što si označio i niz [inlmath](p_n)[/inlmath]. Dakle, sa zagradama - [inlmath](a_n)[/inlmath].

Što se zadatka tiče, nisam siguran kakav se dokaz očekuje jer su ova dva reda potpuno ista te moraju biti i ekvikonvergentni.
Ako se traži strog dokaz lako se pokazuje da su granične vrednosti nizova parcijalnih suma ova dva reda iste (jer su i sami nizovi parcijalnih suma identični) :think1: .

P. S. Ovo mi je veoma sumnjivo, tako da me ne bi čudilo da pravim neki previd, pa mi ne zamerite ako je to slučaj. :?
Moderator
 
Postovi: 305
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 338 puta

Re: "Teorijski zadatak" – ekvikonvergentni redovi

Postod ubavic » Četvrtak, 16. Avgust 2018, 09:39

Nije baš tako trivijalno. Navedeni redovi nisu isti.
Ako red [inlmath]\sum_n c_n[/inlmath] konvergira tada on ima svojstvo asocijativnosti (moguće je grupisati proizvoljno članove, i suma se neće promeniti). Međutim, ako red [inlmath]\sum_n c_n[/inlmath] divergira, tada je ponekad moguće grupisanjem njegovih članova dobiti konvergentan red. Na primer, red [inlmath]1-1+1-1+\cdots[/inlmath] divergira (u običnom smislu), ali red [inlmath](1-1)+(1-1)+\cdots[/inlmath] konvergira. Ovo se dešava zato što divergentan niz može imati konvergentan podniz (ali primetite da ako je niz monoton, tada je niz ekvikonvergentan sa svakim svojim podnizom, što nam govori da se prethodna situacija ne može desiti kod redova sa pozitivnim članovima).

Što se tiče tvog zadatka, činjenica da konvergencija reda [inlmath]A=a_1+a_2+\cdots+a_{p_2-1}-a_{p_2}-a_{p_2+1}-\cdots[/inlmath] povlači konvergenciju reda [inlmath]B=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\sum_{j=p_n}^{p_{n+1}-1}a_j[/inlmath] sledi iz onoga što sam napisao gore.
Činjenica da iz konvergencije reda [inlmath]B[/inlmath] sledi konvergencija reda [inlmath]A[/inlmath], verovatno se može dokazati korišćenjem Košijevog kriterijuma i uslova da je [inlmath]a_n[/inlmath] niz pozitivnih brojeva. Mene sad mrzi da raspisujem ove sume (zbog dvostrukih indeksa), ali verujem da bi ovakav dokaz prošao. Ti pokušaj da ovo dokažeš, to će ti biti dobra vežba.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

  • +1

Re: "Teorijski zadatak" – ekvikonvergentni redovi

Postod Corba248 » Petak, 17. Avgust 2018, 17:23

Corba248 je napisao:Ako se traži strog dokaz lako se pokazuje da su granične vrednosti nizova parcijalnih suma ova dva reda iste (jer su i sami nizovi parcijalnih suma identični) :think1: .



Samo bih se još ovde ispravio, nisu identični, ali se bez poznavanja činjenice da konvergentni redovi imaju svojstvo asocijativnosti upravo preko nizova parcijalnih suma ova dva reda može dokazati ono što se traži u zadatku. Tako se i dokazuje asocijativno svojstvo konvergentnih redova. Ono što sam ja prevideo pri čitanju zadatka je da se radi o pozitivnom redu što nam mnogo olakšava život (iz razloga koje je ubavic naveo).
Moderator
 
Postovi: 305
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 338 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 23. Avgust 2019, 18:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs