"Teorijski zadatak" – ekvikonvergentni redovi

PostPoslato: Sreda, 15. Avgust 2018, 14:59
od Igor
Zadatak: Dat je niz [inlmath]a_n[/inlmath] pozitivnih realnih brojeva i red
[dispmath]a_1+a_2+\cdots+a_{p_2-1}-a_{p_2}-a_{p_2+1}-\cdots-a_{p_3-1}+a_{p_3}+\cdots[/dispmath] gde je [inlmath](p_n),\;n\in\mathbb{N}[/inlmath], strogo rastući niz prirodnih brojeva, takav da je [inlmath]p_1=1[/inlmath]. Dokazati da je gore navedeni red ekvikonvergentan sa redom [inlmath]\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\sum\limits_{j=p_n}^{p_{n+1}-1}a_j[/inlmath].

Zaista ne znam na koji način bih uradio ovaj zadatak, malo mi je komplikovana i sama postavka zadatka. Pokušao sam nešto preko Košijevog kriterijuma, ali ne ide, zaista nemam ideju :?

Re: "Teorijski zadatak" – ekvikonvergentni redovi

PostPoslato: Sreda, 15. Avgust 2018, 23:56
od Corba248
Igor je napisao:Zadatak: Dat je niz [inlmath]a_n[/inlmath] pozitivnih realnih brojeva...

Možda je ovo cepidlačenje, ali trebalo bi niz označiti kao što si označio i niz [inlmath](p_n)[/inlmath]. Dakle, sa zagradama - [inlmath](a_n)[/inlmath].

Što se zadatka tiče, nisam siguran kakav se dokaz očekuje jer su ova dva reda potpuno ista te moraju biti i ekvikonvergentni.
Ako se traži strog dokaz lako se pokazuje da su granične vrednosti nizova parcijalnih suma ova dva reda iste (jer su i sami nizovi parcijalnih suma identični) :think1: .

P. S. Ovo mi je veoma sumnjivo, tako da me ne bi čudilo da pravim neki previd, pa mi ne zamerite ako je to slučaj. :?

Re: "Teorijski zadatak" – ekvikonvergentni redovi

PostPoslato: Četvrtak, 16. Avgust 2018, 08:39
od ubavic
Nije baš tako trivijalno. Navedeni redovi nisu isti.
Ako red [inlmath]\sum_n c_n[/inlmath] konvergira tada on ima svojstvo asocijativnosti (moguće je grupisati proizvoljno članove, i suma se neće promeniti). Međutim, ako red [inlmath]\sum_n c_n[/inlmath] divergira, tada je ponekad moguće grupisanjem njegovih članova dobiti konvergentan red. Na primer, red [inlmath]1-1+1-1+\cdots[/inlmath] divergira (u običnom smislu), ali red [inlmath](1-1)+(1-1)+\cdots[/inlmath] konvergira. Ovo se dešava zato što divergentan niz može imati konvergentan podniz (ali primetite da ako je niz monoton, tada je niz ekvikonvergentan sa svakim svojim podnizom, što nam govori da se prethodna situacija ne može desiti kod redova sa pozitivnim članovima).

Što se tiče tvog zadatka, činjenica da konvergencija reda [inlmath]A=a_1+a_2+\cdots+a_{p_2-1}-a_{p_2}-a_{p_2+1}-\cdots[/inlmath] povlači konvergenciju reda [inlmath]B=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\sum_{j=p_n}^{p_{n+1}-1}a_j[/inlmath] sledi iz onoga što sam napisao gore.
Činjenica da iz konvergencije reda [inlmath]B[/inlmath] sledi konvergencija reda [inlmath]A[/inlmath], verovatno se može dokazati korišćenjem Košijevog kriterijuma i uslova da je [inlmath]a_n[/inlmath] niz pozitivnih brojeva. Mene sad mrzi da raspisujem ove sume (zbog dvostrukih indeksa), ali verujem da bi ovakav dokaz prošao. Ti pokušaj da ovo dokažeš, to će ti biti dobra vežba.

Re: "Teorijski zadatak" – ekvikonvergentni redovi

PostPoslato: Petak, 17. Avgust 2018, 16:23
od Corba248
Corba248 je napisao:Ako se traži strog dokaz lako se pokazuje da su granične vrednosti nizova parcijalnih suma ova dva reda iste (jer su i sami nizovi parcijalnih suma identični) :think1: .



Samo bih se još ovde ispravio, nisu identični, ali se bez poznavanja činjenice da konvergentni redovi imaju svojstvo asocijativnosti upravo preko nizova parcijalnih suma ova dva reda može dokazati ono što se traži u zadatku. Tako se i dokazuje asocijativno svojstvo konvergentnih redova. Ono što sam ja prevideo pri čitanju zadatka je da se radi o pozitivnom redu što nam mnogo olakšava život (iz razloga koje je ubavic naveo).